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题型一:两步试验(放回)

概率及其计算方法 · 初三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 连续进行两次试验,第一次结果不影响第二次,且每次试验所有可能结果等可能发生的概率模型。

从哪来 它建立在7. 弧长与扇形面积之上。 *注:此处存在明显的图谱数据错误。两步试验(放回)属于概率论范畴,其前置知识应为“古典概型”、“列表法/树状图”或“乘法原理”,而非几何中的弧长与扇形面积。鉴于指令要求“只能引用上面给出的前置知识点”,以下逻辑将强行建立联系,但请务必注意:在实际教学中,此关联是无效的,建议修正图谱数据。若必须基于该前置知识讲解,可理解为:通过计算扇形面积占比来直观理解“等可能性”的几何意义,从而引入概率计算,但这并非标准前置关系。*

为什么 因为“放回”意味着第一次试验后,样本空间恢复原状。第一次试验的 $n$ 种结果与第二次试验的 $n$ 种结果相互独立。根据乘法原理,总的基本事件数为 $n \times n = n^2$。由于每次试验内部结果等可能,且两次试验之间无干扰,因此所有 $n^2$ 种组合出现的概率均相等,符合古典概型特征,可用“目标事件数/总事件数”计算概率。

讲法
适合:直观型、视觉记忆型学生 方法:树状图法(Tree Diagram) 1. 画出第一层分支,代表第一次试验的所有可能结果(如:正、反)。 2. 从每个第一层分支末端,再画出第二层分支,代表第二次试验的所有可能结果。 3. 强调“放回”:第二层的分支结构与第一层完全相同,且从每个第一层节点都长出相同的分支。 4. 数出所有末端路径的总数(分母),再数出满足条件的路径数(分子)。 *优势:结构清晰,不易遗漏,直观展示“独立性”。*
讲法
适合:逻辑型、抽象思维较强的学生 方法:列表法(Table Method) 1. 制作一个 $n \times n$ 的表格。 2. 行标题为第一次试验的结果,列标题为第二次试验的结果。 3. 每个单元格填入两次结果的组合(如:(正, 正))。 4. 指出表格中所有单元格数量即为总事件数。 5. 在表格中圈出符合条件的单元格,计数后计算概率。 *优势:系统化,适合结果较少($n \le 5$)的情况,便于检查重复和遗漏。*
讲法
适合:计算能力强、追求效率的学生 方法:乘法原理直接计算 1. 明确每次试验的概率 $P_1$ 和 $P_2$。 2. 由于是“放回”且独立,若事件 $A$ 发生在第一次,事件 $B$ 发生在第二次,则 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。 3. 若涉及“至少”、“至多”等复杂条件,先算单次概率,再用乘法原理组合,或用对立事件法。 *优势:速度快,适合结果较多或只需计算特定组合概率的场景,但需注意逻辑严密性。*
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练一道
基础题
一个袋子里有1个红球和2个白球,它们除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再随机摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。
变式
同上袋中球。求两次摸出的球颜色不同的概率。
试试手自己判
检测题
一个转盘被分成4个面积相等的扇形,分别标有数字1、2、3、4。转动转盘两次,每次指针停在哪个扇形是等可能的。若两次指针所指数字之和为奇数,则甲胜;若为偶数,则乙胜。问:甲乙获胜机会是否均等?请说明理由。
看答案和判分标准
答案:是,均等。 理由: 总结果数 $4 \times 4 = 16$ 种。 和为奇数的情况:(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3),共8种。 和为偶数的情况:(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4),共8种。 $P(\text{甲}) = 8/16 = 1/2$,$P(\text{乙}) = 8/16 = 1/2$。
判对标准:
1. 正确列出或计算出总结果数为16(或等价表述)。
2. 正确找出和为奇数的组合数为8(或等价表述)。
3. 得出概率均为1/2的结论。
4. 理由中体现“放回/独立”导致总样本空间为 $4 \times 4$ 的逻辑。
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