检测题
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求二面角 $A_1-BD-A$ 的平面角的大小。
答案：$60^\circ$
判对标准：
1. 正确识别棱为 $BD$。
2. 正确找到平面角：连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$，连接 $A_1O$。因为 $AC \perp BD$ 且 $A_1C_1 \perp B_1D_1$（投影关系），实际上需证明 $A_1O \perp BD$。
* $AO \perp BD$（正方形对角线互相垂直）。
* $AA_1 \perp$ 平面 $ABCD \Rightarrow AA_1 \perp BD$。
* 所以 $BD \perp$ 平面 $A_1AO \Rightarrow BD \perp A_1O$。
* 因此 $\angle A_1OA$ 即为所求平面角。
3. 在 Rt$\triangle A_1AO$ 中，$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，$AA_1 = a$。
$\tan \angle A_1OA = \frac{AA_1}{AO} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a} = \sqrt{2}$。
等等，这里需要重新计算：
正方体棱长为 $a$。
$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
$AA_1 = a$。
$\tan \theta = \sqrt{2}$。
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
$\theta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$。
更正：题目问的是 $A_1-BD-A$。
平面 $ABD$ 即底面。平面 $A_1BD$。
法向量法：
平面 $ABD$ 法向量 $\vec{n_1} = (0,0,1)$。
平面 $A_1BD$：$B(1,0,0), D(0,1,0), A_1(0,0,1)$ （设 $D$ 为原点，$DA$ 为 $x$，$DC$ 为 $y$，$DD_1$ 为 $z$？不，通常 $D(0,0,0), A(a,0,0), B(a,a,0), D_1(0,0,a)$）。
设 $D(0,0,0), A(a,0,0), B(a,a,0), A_1(a,0,a)$。
棱 $BD$：向量 $\vec{DB} = (a,a,0)$。
平面 $ABD$ 法向量 $\vec{n_1} = (0,0,1)$。
平面 $A_1BD$：$\vec{DA_1} = (a,0,a), \vec{DB} = (a,a,0)$。
$\vec{n_2} = \vec{DA_1} \times \vec{DB} = (-a^2, a^2, a^2)$。简化为 $(-1, 1, 1)$。
$\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以角度是 $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$。
如果题目是 $A_1-AB-D$，答案是 $90^\circ$。
如果题目是 $A_1-BD-A$，答案是 $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$。
为了检测题的简洁性，改为求 二面角 $A_1-AB-D$ 的平面角大小。
修正检测题：