空间向量及其在立体几何中的应用

1.1 空间直角坐标系的建立在空间中，由三条两两垂直且交于一点的直线构成的坐标系，用于确定点的位置。

1.2 空间点的坐标在空间直角坐标系中，用有序实数对 $(x, y, z)$ 唯一确定空间中一个点的位置。

1.3 空间两点间的距离空间中任意两点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 与 $P_2(x_2, y_2, z_2)$ 间的距离公式为 $|P_1P_2|

2.1 空间向量的概念空间向量是既有大小又有方向的有向线段，用 $\vec{AB}$ 或 $\boldsymbol{a}$ 表示，其模长记为 $|\vec{AB}

2.2 空间向量的坐标运算在空间直角坐标系中，利用向量的坐标表示，将向量的加减、数乘及数量积转化为代数运算的方法。

2.3 空间向量平行与垂直的判定空间向量平行即共线，垂直即数量积为零，是判定空间直线与平面位置关系的代数基础。

2.4 空间向量的应用利用空间向量的坐标运算，将立体几何中的位置关系与度量问题转化为代数方程求解。

3.1 直线的方向向量与平面的法向量直线上任意非零向量称为方向向量；垂直于平面的非零向量称为法向量。

3.2 直线与平面平行直线与平面无公共点，或直线在平面内，二者不相交。

3.3 直线与平面垂直直线与平面垂直是指直线与平面内任意一条直线都垂直的位置关系。

3.4 平面与平面平行两个平面没有公共点，或者说一个平面内的任意直线都平行于另一个平面，则称这两个平面平行。

3.5 平面与平面垂直两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。

4.1 异面直线所成角空间中两条既不平行也不相交的直线，通过平移使其相交后所成的锐角或直角。

4.2 直线与平面所成角斜线与它在平面内的射影所成的锐角，即为直线与平面所成的角。

4.3 二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其中直线叫棱，半平面叫面。

5.1 点到直线的距离平面内一点到一条直线的垂线段长度，称为该点到这条直线的距离。

5.2 点到平面的距离空间中一点到平面的垂线段长度，即该点到平面上所有点距离中的最小值。

5.3 直线与平面平行时直线上点到平面的距离直线与平面平行时，直线上任意一点到该平面的垂线段长度，即为该直线到平面的距离。

5.4 两平行平面间的距离两平行平面间距离定义为夹在两平面间的公垂线段的长度，即从一平面上任一点到另一平面的垂线段长。

6.1 正方体由六个全等的正方形围成的六面体，具有12条棱、8个顶点，所有面均为正方形。

6.2 长方体由六个矩形（含正方形）围成的封闭几何体，相对的面平行且全等。

6.3 正四面体由四个全等的等边三角形围成的空间几何体，拥有4个顶点、6条棱和4个面。

7.1 建系原则建立空间直角坐标系，需选定原点及三条两两垂直、方向确定的坐标轴，以唯一确定空间点的位置。

7.2 向量法解题步骤将立体几何问题转化为向量坐标运算，通过计算向量的数量积、模长或夹角来求解几何量。

7.3 综合法与向量法的选择在立体几何证明与计算中，根据题目条件特征，灵活选用综合几何法或空间向量法的最优策略。