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6.2 长方体

空间向量及其在立体几何中的应用 · 高二
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 由六个矩形(含正方形)围成的封闭几何体,相对的面平行且全等。

从哪来 本节为高二立体几何起点,基于初中已掌握的“长方体直观认识”及“平面图形(矩形)性质”构建空间观念。

为什么 长方体是空间直角坐标系的原型。理解其“长、宽、高”三个维度相互垂直的特性,是建立空间向量、解析几何以及后续学习一般棱柱、棱锥的基础。它揭示了三维空间中“正交”与“度量”的基本逻辑。

实物拆解法
拿出一个快递纸箱,让学生测量长宽高,计算表面积和体积。
适合:形象思维强、抽象空间感较弱、喜欢动手操作的学生。
坐标映射法
在空间直角坐标系中,将长方体顶点设为 $(0,0,0)$ 到 $(a,b,c)$,推导棱长与坐标差的关系。
适合:代数基础好、逻辑推理能力强、偏好公式推导的学生。
投影分析法
通过三视图(主视、俯视、左视)还原长方体,强调“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
适合:工程制图兴趣浓厚、擅长图形变换、视觉空间能力强的学生。
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练一道
基础题
已知长方体长 $a=3$,宽 $b=4$,高 $c=5$,求其表面积 $S$ 和体积 $V$。
变式
一个长方体容器,底面是边长为 $10\text{cm}$ 的正方形,高为 $20\text{cm}$。若倒入 $1500\text{cm}^3$ 的水,求水面高度。
试试手自己判
检测题
一个长方体,长、宽、高分别为 $x, x, 2x$。若其体积为 $16\text{cm}^3$,求其表面积。
看答案和判分标准
答案:$48\text{cm}^2$。
判对标准:
1. 正确列出体积方程 $x \cdot x \cdot 2x = 16$ 并解得 $x=2$(得2分)。
2. 正确代入表面积公式 $2(x^2 + 2x^2 + 2x^2) = 2(5x^2) = 10x^2$(得2分)。
3. 计算结果 $10 \times 4 = 40$?不对,重算:
$V = 2x^3 = 16 \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2$。
$S = 2(x \cdot x + x \cdot 2x + x \cdot 2x) = 2(x^2 + 2x^2 + 2x^2) = 2(5x^2) = 10x^2$。
$S = 10 \times 2^2 = 40\text{cm}^2$。
更正答案:$40\text{cm}^2$。
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