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7.3 综合法与向量法的选择

空间向量及其在立体几何中的应用 · 高二
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 在立体几何证明与计算中,根据题目条件特征,灵活选用综合几何法或空间向量法的最优策略。

从哪来 本节为高二立体几何起点,无前置知识点记录,直接基于高中数学课程标准中“立体几何初步”与“空间向量及其应用”的核心要求构建。

为什么 综合法依赖空间想象与逻辑推理,擅长处理定性关系(如平行、垂直)及简单长度计算,但面对复杂角度或距离时辅助线构造困难;向量法将几何问题代数化,通过坐标运算实现“通法”,虽计算量大但逻辑路径固定,适合处理定量问题(如二面角、点到面距离)。选择依据在于:若图形结构特殊、条件直观,综合法更简洁;若图形一般、条件抽象或涉及复杂角度,向量法更稳健。

讲法
适合空间想象力强、逻辑推理能力突出的学生 强调“形”的直观性。引导学生观察图形的对称性、特殊位置关系(如中点、垂足),优先尝试综合法。重点训练如何从结论倒推所需条件,寻找关键辅助线(如中位线、投影)。强调向量法是“保底策略”,当综合法卡壳超过3分钟时再切换。
讲法
适合中等水平、需要建立解题信心与策略意识的学生 采用“双轨对比法”。同一道题,先尝试综合法,记录卡点;再尝试向量法,记录计算量。通过对比,让学生体会:综合法胜在“巧”,向量法胜在“稳”。教会学生根据题目给出的条件(是否有垂直、是否给长度)快速判断哪种方法更省力。
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练一道
基础题
正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,求证:$BD \perp AC_1$。
变式
三棱锥 $P-ABC$ 中,$PA \perp$ 平面 $ABC$,$AB \perp BC$,$PA=AB=BC=1$。求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值。
试试手自己判
检测题
在四棱锥 $P-ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 为正方形,$PA \perp$ 底面 $ABCD$,$PA=AB=2$。求直线 $PC$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正切值。
看答案和判分标准
答案:$\frac{\sqrt{2}}{2}$
判对标准:
1. 若学生用综合法:指出 $PA \perp$ 面 $ABCD$,故 $AC$ 为 $PC$ 在面上的射影,$\angle PCA$ 即为所求角。在 Rt$\triangle PAC$ 中,$PA=2, AC=2\sqrt{2}$,$\tan \angle PCA = \frac{PA}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 若学生用向量法:建系正确,求出 $\vec{PC}$ 与平面法向量 $\vec{PA}$ 的夹角余弦,再转化为正切,结果一致。
3. 若学生混淆线面角与二面角,或计算 $AC$ 长度错误,则判错。
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