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7.1 建系原则

空间向量及其在立体几何中的应用 · 高二
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 建立空间直角坐标系,需选定原点及三条两两垂直、方向确定的坐标轴,以唯一确定空间点的位置。

从哪来 本节为高二立体几何解析法起点,无前置知识点记录,直接基于初中平面直角坐标系及高中必修一空间几何体概念构建。

为什么 空间是三维的,仅靠平面坐标系无法描述深度。引入第三条垂直轴,利用“右手定则”固定方向,将几何问题转化为代数方程,实现“形”与“数”的互通,这是解决空间位置关系最通用的工具。

直观演示法
利用教室角落(墙角线)作为原点,三条棱作为坐标轴。让学生观察自己站立位置,分别对应到地面(x,y)、墙面(x,z)、侧墙(y,z)的投影。
适合:空间想象力较弱、依赖具象思维的学生。
代数推导法
回顾平面直角坐标系中 $(x,y)$ 确定点,提问“若增加高度 $z$,如何唯一确定?”引出 $x,y,z$ 三元组。强调坐标轴两两垂直是为了保证投影独立性,避免坐标耦合。
适合:逻辑推理能力强、偏好抽象定义的学生。
对比辨析法
对比平面坐标系与空间坐标系的区别。重点讲解“右手系”与“左手系”的区别,强调数学规范中默认使用右手系,避免后续向量叉乘方向错误。
适合:基础扎实、易混淆概念细节、追求严谨性的学生。
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练一道
基础题
在空间直角坐标系中,点 $A(1, 2, 3)$ 到 $x$ 轴的距离是多少?
变式
已知点 $P(x, y, z)$ 在空间直角坐标系中,若 $P$ 到三个坐标平面的距离相等,且 $x+y+z=6$ ($x,y,z>0$),求点 $P$ 的坐标。
试试手自己判
检测题
在空间直角坐标系中,若点 $M$ 的坐标为 $(0, 3, -4)$,则点 $M$ 位于哪个坐标平面上?
看答案和判分标准
答案:$yOz$ 平面。
判对标准:
学生能指出 $x=0$ 意味着点在 $yOz$ 平面上,且能正确识别坐标符号不影响所在平面判定。
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