基础题
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，点 $A(2,0)$，$B(-2,0)$。点 $P$ 在椭圆上，且 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$。求点 $P$ 的坐标。
变式
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过左焦点 $F_1(-1,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点。若 $\vec{OA} + \vec{OB} = \lambda \vec{OF_2}$（$F_2$ 为右焦点），求实数 $\lambda$ 的取值范围。
1. 设 $P(x,y)$。
2. $\vec{PA} = (2-x, -y)$，$\vec{PB} = (-2-x, -y)$。
3. 由 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ 得：$(2-x)(-2-x) + (-y)(-y) = 0$。
4. 化简得：$-(4-x^2) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 4$。
5. 联立方程组：
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases}$
6. 由第一式得 $y^2 = 4 - x^2$，代入第二式：
$\frac{x^2}{4} + \frac{4-x^2}{3} = 1$
$3x^2 + 16 - 4x^2 = 12$
$-x^2 = -4 \Rightarrow x^2 = 4$。
7. 当 $x^2=4$ 时，$y^2=0$，即 $y=0$。
8. 此时 $P$ 点坐标为 $(2,0)$ 或 $(-2,0)$。
*注：题目中 $A, B$ 为长轴端点，若 $P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合，向量零向量与任意向量数量积为0，符合题意。但在实际几何意义中，通常考察非顶点情况，此处数学推导严谨即可。若题目隐含 $P$ 不与 $A,B$ 重合，则无解；若允许重合，则解为 $(\pm 2, 0)$。通常此类题会设计成 $P$ 在短轴顶点或其他位置，此处为演示向量垂直的代数转化。*
*修正：若题目要求 $P$ 为椭圆上异于 $A,B$ 的点，则此题无解。为了教学有效性，我们调整题目条件：*
修正基础题：已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，点 $A(0, \sqrt{3})$，$B(0, -\sqrt{3})$。点 $P$ 在椭圆上，且 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$。求点 $P$ 的坐标。
修正解答：
1. $\vec{PA} = (-x, \sqrt{3}-y)$，$\vec{PB} = (-x, -\sqrt{3}-y)$。
2. $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = x^2 + (\sqrt{3}-y)(-\sqrt{3}-y) = x^2 - (3-y^2) = x^2 + y^2 - 3 = 0$。
3. 即 $x^2 + y^2 = 3$。
4. 联立 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。
5. $x^2 = 4(1-\frac{y^2}{3}) = 4 - \frac{4}{3}y^2$。
6. 代入 $x^2 + y^2 = 3$：$4 - \frac{4}{3}y^2 + y^2 = 3 \Rightarrow 4 - \frac{1}{3}y^2 = 3 \Rightarrow \frac{1}{3}y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 3$。
7. $y = \pm\sqrt{3}$，此时 $x=0$。
8. 点 $P$ 为 $(0, \sqrt{3})$ 或 $(0, -\sqrt{3})$，即短轴顶点。