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等差数列与等比数列

高二　·　本节 17 个知识点
学这一节之前，先确认
数列的概念、通项公式及前n项和
前置
这些是地基。没通的补完再回来 —— 比硬啃快得多。
本节的知识点点进去看讲解
01
1.1 等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫等差数列。
02
1.2 等差数列的通项公式等差数列中，第n项与首项、公差及项数n之间的线性函数关系式。
03
1.3 等差中项若 $a, b, c$ 成等差数列，则 $b$ 称为 $a$ 与 $c$ 的等差中项，满足 $2b = a + c$。
04
1.4 等差数列的前n项和等差数列前n项和是前n个项的代数和，公式为 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 或 $S_n = na_1 + \fr
05
1.5 等差数列的常用性质等差数列中，若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$；及 $a_n=a_1+(n-1)d$ 的对称性应用。
06
2.1 等比数列的定义从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数（公比），该数列称为等比数列。
07
2.2 等比数列的通项公式等比数列中，第n项与首项及公比之间的函数关系式 $a_n = a_1 q^{n-1}$。
08
2.3 等比中项若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b$ 称为 $a$ 与 $c$ 的等比中项，满足 $b^2 = ac$ 且 $a, c$ 同号。
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2.4 等比数列的前n项和等比数列前n项和公式 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ ($q\neq1$) 或 $S_n = na_1$ ($
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2.5 等比数列的常用性质等比数列中，若 $m+n=p+q$，则 $a_m a_n = a_p a_q$；且 $a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}$。
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3.1 定义对比通过比较两个数列各项的大小关系，判断其单调性（递增、递减或摆动）。
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3.2 通项公式对比通过比较两个数列通项公式的结构差异，判断其递推关系或求和特征的方法。
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3.3 前n项和对比比较数列前n项和 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 的大小关系，从而判断数列单调性或确定参数范围的方法。
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3.4 性质对比通过对比等差与等比数列的通项、前n项和及递推关系，揭示其结构差异与联系。
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4.1 判断与证明通过逻辑推理判断命题真假，并给出严谨证明过程的方法体系。
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4.2 求通项的方法利用已知条件（如递推关系、前n项和）推导数列第n项 $a_n$ 关于 $n$ 的解析表达式的方法。
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4.3 求和的方法利用数列通项公式或递推关系，通过裂项、分组、错位相减等技巧推导前n项和公式的方法。
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