定义 若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b$ 称为 $a$ 与 $c$ 的等比中项，满足 $b^2 = ac$ 且 $a, c$ 同号。
从哪来 它建立在 1.3 数列的通项公式 之上。
等比中项本质上是等比数列 $\{a_n\}$ 中，相邻两项 $a_{n-1}$ 与 $a_{n+1}$ 的中间项 $a_n$。根据等比数列通项公式 $a_n = a_1 q^{n-1}$，可推导出 $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$，即等比中项的核心性质。
为什么 在等比数列中，公比 $q$ 是常数。
对于连续三项 $a, b, c$，有 $b = a \cdot q$ 且 $c = b \cdot q = a \cdot q^2$。
因此，$b^2 = (a \cdot q)^2 = a^2 q^2$，而 $a \cdot c = a \cdot (a q^2) = a^2 q^2$。
所以 $b^2 = ac$。
关键逻辑：等比中项的存在依赖于“比值恒定”这一特征。如果 $a$ 和 $c$ 异号，则 $ac < 0$，实数范围内不存在 $b$ 使得 $b^2 < 0$，故等比中项不存在。这解释了为什么 $a, c$ 必须同号。
代数推导法**
**适合学生
逻辑严密、喜欢从公式出发的学生。
步骤：
1. 写出等比数列定义：$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = q$。
2. 交叉相乘：$b^2 = ac$。
3. 强调：这是由定义直接推导出的恒等式，是判断三个数是否成等比数列的充要条件（需排除 $a,c$ 为0或异号的情况）。
几何直观法**
**适合学生
空间感强、对抽象代数感到困难的学生。
步骤：
1. 在数轴上标出 $a$ 和 $c$。
2. 想象一个以 $a$ 和 $c$ 为对角线顶点的矩形（或正方形），其面积大小为 $|ac|$。
3. 等比中项 $b$ 的平方等于这个面积。
4. 强调符号：如果 $a, c$ 都在原点同侧（同号），$b$ 就在它们之间；如果异侧，$b$ 在实数轴上“消失”（无实数解）。
逆向验证法**
**适合学生
做题快、喜欢技巧、容易忽略细节的学生。
步骤：
1. 给出 $a, c$，先算 $ac$。
2. 若 $ac < 0$，直接判定无实数等比中项。
3. 若 $ac > 0$，则 $b = \pm\sqrt{ac}$。
4.
陷阱提示：算出 $b$ 后，必须回头验证 $a, b, c$ 是否真的成等比（即 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$）。特别当 $a=c$ 时，$b$ 有两个值，需分别验证。