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数列的概念、通项公式及前n项和

高二　·　本节 16 个知识点
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1.1 数列的定义按一定顺序排列的一列数，称为数列；其中每一个数叫数列的项，第一个数叫首项。
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1.2 数列的分类根据项与项之间、项与序号之间的数量关系，将数列划分为等差、等比、递推等不同类型的集合。
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1.3 数列的通项公式数列中第 $n$ 项 $a_n$ 与项数 $n$ 之间的函数关系式，通常记为 $a_n = f(n)$。
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1.4 数列的表示方法用列举法、通项公式法或递推公式法，将数列中项与序号的对应关系明确化。
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2.1 递推公式的定义用数列前一项（或前几项）与项数 $n$ 的代数式表示后一项的公式。
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2.2 常见递推形式通过已知项与未知项间的等量关系，由前一项（或几项）推导后一项的数列表达式。
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2.3 由递推公式求通项已知数列首项及相邻两项关系，通过迭代或构造法求出 $a_n$ 关于 $n$ 的解析式。
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3.1 前n项和的定义数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 定义为 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 的总和。
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3.2 $S_n$与$a_n$的关系已知数列前 $n$ 项和 $S_n$，求通项 $a_n$ 的公式：$a_n = S_n - S_{n-1} (n \ge 2)$，且需单独验
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3.3 求前n项和的方法通过观察数列通项公式的结构特征，选择合适策略将数列转化为可求和的基本数列（等差、等比）之和。
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4.1 数列是特殊的函数数列是按一定顺序排列的一列数，本质上是定义域为正整数集（或其有限子集）的函数。
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4.2 数列的单调性数列中相邻两项的大小关系保持恒定（递增或递减），即 $a_{n+1} > a_n$ 或 $a_{n+1} < a_n$。
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4.3 数列的最值研究数列中最大项与最小项的取值及其位置，核心是判断数列单调性及首尾项关系。
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5.1 数列与函数数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的离散函数，本质是特殊的函数。
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5.2 数列与不等式利用数列的单调性、有界性或递推关系，推导项与项、项与常数之间的不等关系。
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5.3 数列的实际应用利用数列模型解决增长、衰减、利息、资源分配等现实问题，核心是建立通项公式或求和公式。
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