定义 研究数列中最大项与最小项的取值及其位置，核心是判断数列单调性及首尾项关系。
从哪来 本节为高二数列章节起点，基于初中已掌握的“不等式性质”及“函数单调性”概念，无需依赖其他前置数列知识。
为什么 数列本质是定义域为正整数集的函数。求最值不能仅靠观察，必须依据单调性：若数列单调递增，最小值为首项，最大值为末项（若有限）或趋向无穷（若无限）；若单调递减则反之；若非单调，需比较局部极值。这是因为整数离散性导致无法用导数求极值，必须通过作差法判断相邻项大小关系来确定单调趋势。
讲法
适合：逻辑严密、擅长代数推导的学生
采用“作差法”通用流程。
1. 计算 $a_{n+1} - a_n$。
2. 判断该差值的符号（恒正、恒负或变号）。
3. 若恒正，数列递增，$a_1$ 最小；若恒负，数列递减，$a_n$ 随 $n$ 增大而减小（有限数列中 $a_n$ 最小）；若变号，找到由正变负或由负变正的转折点，该处即为最值点。
强调：这是最严谨的方法，适用于所有类型数列。
讲法
适合：直观思维强、喜欢图形化的学生
采用“图像趋势法”。
1. 将数列项 $(n, a_n)$ 视为平面直角坐标系中的点。
2. 画出前几项的点，观察点的分布趋势（向上走、向下走、先升后降）。
3. 结合解析式判断趋势是否持续。例如 $a_n = n^2 - 5n + 6$，画出抛物线，观察顶点位置，结合 $n \in \mathbb{N}^*$ 确定最值。
强调：先看图猜结论，再用代数验证，建立数形结合直觉。
讲法
适合：计算能力弱、易出错的学生
采用“特殊值排除法”。
1. 先计算 $a_1, a_2, a_3$ 的值。
2. 观察前几项的大小关系，初步判断是递增、递减还是波动。
3. 若为递增/递减，直接取首项或末项（有限数列）。
4. 若为波动，重点检查“由小变大”或“由大变小”的转折项，通常最值出现在转折点附近。
强调：通过具体数值建立信心，避免陷入复杂代数运算，先定性再定量。