定义 已知数列前 $n$ 项和 $S_n$，求通项 $a_n$ 的公式：$a_n = S_n - S_{n-1} (n \ge 2)$，且需单独验证 $n=1$。
从哪来 本节为高二数列章节起点，无前置知识点依赖，直接基于“数列”与“求和”的基本概念建立。
为什么 数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项 $a_n$ 本质上是前 $n$ 项和 $S_n$ 与前 $n-1$ 项和 $S_{n-1}$ 的“增量”。
因为 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$，而 $S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$，两式相减自然得到 $a_n = S_n - S_{n-1}$。
核心逻辑：$S_n$ 是累积量，$a_n$ 是瞬时量（或增量）。从累积量还原瞬时量，必须做差。
关键约束：当 $n=1$ 时，$S_{n-1} = S_0$ 在常规定义中不存在（或定义为0），因此公式 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 仅在 $n \ge 2$ 时成立。$a_1$ 必须直接由 $S_1$ 给出。这是该知识点最本质的数学逻辑，也是所有易错点的根源。
适合类型
逻辑严密、喜欢推导原理的学生。
讲解策略：
1.
代数推导：在黑板上写出 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 的展开式，逐项对齐，直观展示相减后只剩下 $a_n$。
2.
强调定义域：用集合语言指出公式 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 的定义域是 $\{n \in \mathbb{N}^* | n \ge 2\}$。
3.
反例警示：故意写一个 $n=1$ 时 $S_1 - S_0$ 的式子，问学生 $S_0$ 是什么？引导学生意识到 $S_0$ 未定义，从而确立“分段讨论”的必要性。
适合类型
形象思维强、对抽象符号不敏感的学生。
讲解策略：
1.
生活类比：把 $S_n$ 比作“银行余额”，$a_n$ 比作“第 $n$ 天的存入/取出金额”。
* 问：想知道第 5 天存了多少钱，需要知道什么？
* 答：需要知道第 5 天结束时的余额（$S_5$）和第 4 天结束时的余额（$S_4$）。
* 公式：第 5 天存入 = $S_5 - S_4$。
2.
边界情况：问：想知道第 1 天存了多少钱，需要知道第 0 天的余额吗？
* 答：不需要，第 1 天的余额就是 $S_1$，因为之前没存过钱（$S_0=0$，但通常不讨论）。
* 结论：第 1 天直接看 $S_1$，第 2 天及以后用“当前余额 - 上一天余额”。
适合类型
刷题多、容易粗心、需要程序化步骤的学生。
讲解策略：
1.
口诀记忆：给出固定解题流程口诀——“
先写差，再验一，最后合”。
2.
程序化步骤：
* Step 1: 写出 $a_n = S_n - S_{n-1}$（标注 $n \ge 2$）。
* Step 2: 计算 $a_1 = S_1$。
* Step 3:
关键一步：将 $n=1$ 代入 Step 1 得到的通项公式中，看结果是否等于 Step 2 的 $a_1$。
* Step 4: 若相等，合并为一个公式；若不等，写成分段函数。
3.
肌肉记忆：要求学生在草稿纸上必须画出大括号分段符号，强制自己进行验证。