定义 通过比较两个数列各项的大小关系，判断其单调性（递增、递减或摆动）。
从哪来 建立在 1.1 数列的定义 和 1.3 数列的通项公式 之上。
为什么 数列本质上是定义域为正整数集 $N^*$ 的函数。判断其单调性，核心在于比较相邻两项 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的大小。
若 $a_{n+1} > a_n$，则数列递增；若 $a_{n+1} < a_n$，则递减。
之所以要“对比”，是因为仅看通项公式 $a_n$ 的表达式（如 $a_n = n^2$ 或 $a_n = \frac{1}{n}$）往往无法直观看出变化趋势，必须通过代数变形（作差或作商）将“项与项的关系”转化为“常数或正负号”的判断，从而确立数列的整体走向。这是研究数列性质（如最值、收敛性）的基础。
讲法
代数作差法（通法）
适合：逻辑严密、擅长代数变形的学生
步骤：
1. 计算差值：$\Delta_n = a_{n+1} - a_n$。
2. 化简：将 $\Delta_n$ 整理为因式分解形式或易于判断符号的形式。
3. 定号：根据 $n \in N^*$ 的范围，判断 $\Delta_n$ 的正负。
- 若 $\Delta_n > 0$，则 $a_{n+1} > a_n$，数列递增。
- 若 $\Delta_n < 0$，则 $a_{n+1} < a_n$，数列递减。
- 若 $\Delta_n$ 符号不定，则数列摆动。
*强调：这是最通用、最严谨的方法，适用于绝大多数含参或复杂分式数列。*
讲法
函数图像法（直观法）
适合：几何直觉强、对函数图像敏感的学生
思路：
将数列 $a_n$ 视为函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的取值。
1. 写出对应的函数 $f(x)$（定义域 $x>0$）。
2. 求导 $f'(x)$ 或利用基本初等函数图像性质判断 $f(x)$ 在 $x>0$ 时的单调性。
3. 若 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，则数列 $a_n$ 递增。
*注意：此法仅适用于 $a_n$ 能自然延拓为连续函数且函数单调性与数列单调性一致的情况（如 $a_n = n^2, a_n = \ln n$）。对于 $a_n = (-1)^n$ 或离散跳跃大的数列无效。*
特殊值验证+趋势分析法（快解法）**
**适合：考试压力大、需要快速排除选项或定性判断的学生**
思路：
1. 计算前几项：$a_1, a_2, a_3, a_4$。
2. 观察变化：
- 若 $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$，且通项公式结构显示增长趋势（如分子次数高于分母），大概率递增。
- 若 $a_1 > a_2 > a_3 > a_4$，且结构显示衰减趋势（如指数衰减），大概率递减。
3. **关键警示
此法仅用于
猜测或
选择题排除，不能作为证明依据。若前几项同向，但通项中含有 $(-1)^n$ 或高次振荡项，则可能后续反转。
*适用场景：选择题中快速判断单调性，或作为作差法结果的合理性检验。*