定义 等比数列中，第n项与首项及公比之间的函数关系式 $a_n = a_1 q^{n-1}$。
从哪来 基于 1.3 数列的通项公式 的概念框架，结合 2.1 递推公式的定义 推导得出，并需运用 1.1 数列的定义 理解项与项之间的依赖关系。
为什么 等比数列的核心特征是“后一项与前一项的比值恒定”。若从 $a_1$ 开始，$a_2$ 是 $a_1$ 乘了一次 $q$，$a_3$ 是 $a_1$ 乘了两次 $q$……以此类推，第 $n$ 项就是首项 $a_1$ 乘了 $n-1$ 次 $q$。这本质上是指数运算在离散序列中的体现，将乘法递推转化为指数通项，实现了从“局部关系”到“整体函数”的跨越。
适合：逻辑推理能力强、喜欢探究规律的学生**
**推导法
1. 写出前几项：$a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \dots$
2. 引导学生观察指数与项数 $n$ 的关系：第1项指数为0，第2项指数为1……
3. 归纳出规律：第 $n$ 项的指数为 $n-1$。
4. 结论：$a_n = a_1 q^{n-1}$。
*强调：指数比项数少1，这是由乘法次数决定的。*
适合：形象思维较好、对抽象公式感到困难的学生**
**“多米诺骨牌”类比法
1. 想象 $a_1$ 是起点，$q$ 是每次传递的“放大倍数”。
2. 每传递一次（到下一项），就乘一次 $q$。
3. 从第1项传到第 $n$ 项，中间经过了 $n-1$ 个“间隔”。
4. 所以总共乘了 $n-1$ 次 $q$。
*口诀：项数减一，指数才齐。*
适合：计算能力强、习惯代数变形的学生**
**递推展开法
1. 由定义 $a_n = a_{n-1} \cdot q$
2. 代入得 $a_n = a_{n-2} \cdot q^2$
3. 继续代入得 $a_n = a_{n-3} \cdot q^3$
4. 一直代入到 $a_1$，此时乘了 $n-1$ 次 $q$。
5. 得出 $a_n = a_1 q^{n-1}$。
*强调：这是严格的代数推导，不依赖观察，适用于证明题。*