基础题
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过右焦点 $F(1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点。若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，求直线 $l$ 的斜率 $k$。
变式
已知抛物线 $C: y^2 = 4x$，过焦点 $F(1, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点。若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -3$，求直线 $l$ 的斜率 $k$。
1. 设直线方程：由于直线过点 $(1,0)$ 且斜率存在（若不存在，$x=1$，代入椭圆得 $y=\pm \frac{3}{2}$，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 - \frac{9}{4} \neq 0$，故斜率存在），设 $l: y = k(x-1)$。
2. 联立方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-1) \\ 3x^2 + 4y^2 = 12 \end{cases} $$
代入消元得：$3x^2 + 4k^2(x-1)^2 = 12$
整理得：$(3 + 4k^2)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 12 = 0$
3. 韦达定理：
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，则
$$ x_1 + x_2 = \frac{8k^2}{3 + 4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{4k^2 - 12}{3 + 4k^2} $$
4. 利用垂直条件：
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$
$$ y_1 y_2 = k^2(x_1 - 1)(x_2 - 1) = k^2[x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1] $$
代入 $x_1 x_2$ 和 $x_1 + x_2$：
$$ y_1 y_2 = k^2 \left[ \frac{4k^2 - 12}{3 + 4k^2} - \frac{8k^2}{3 + 4k^2} + 1 \right] = k^2 \left[ \frac{-4k^2 - 12 + 3 + 4k^2}{3 + 4k^2} \right] = k^2 \left( \frac{-9}{3 + 4k^2} \right) $$
所以：
$$ x_1 x_2 + y_1 y_2 = \frac{4k^2 - 12}{3 + 4k^2} - \frac{9k^2}{3 + 4k^2} = 0 $$
$$ 4k^2 - 12 - 9k^2 = 0 \Rightarrow -5k^2 = 12 $$
此处出现矛盾，$k^2$ 不能为负。重新检查计算：
$y_1 y_2 = k^2(x_1-1)(x_2-1) = k^2(x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1)$
$x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = \frac{4k^2 - 12 - 8k^2 + 3 + 4k^2}{3 + 4k^2} = \frac{-9}{3 + 4k^2}$
$x_1 x_2 + y_1 y_2 = \frac{4k^2 - 12}{3 + 4k^2} + k^2 \left( \frac{-9}{3 + 4k^2} \right) = \frac{4k^2 - 12 - 9k^2}{3 + 4k^2} = \frac{-5k^2 - 12}{3 + 4k^2} = 0$
分子 $-5k^2 - 12 = 0$ 无实数解。
修正思路：题目条件 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ 意味着 $\angle AOB = 90^\circ$。
对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，若 $O$ 为原点，$A, B$ 在椭圆上且 $\angle AOB = 90^\circ$，则 $\frac{1}{|OA|^2} + \frac{1}{|OB|^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ 不一定成立，需具体计算。
实际上，若 $k$ 不存在，$x=1$，$A(1, \frac{3}{2}), B(1, -\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4} \neq 0$。
若 $k$ 存在，上述推导显示无解。这说明该题在给定椭圆下无解，或者题目条件应为 $\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = 0$ 或其他。
为了教学演示，修改题目条件：已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过右焦点 $F(1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点。若 $\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = -1$，求直线 $l$ 的斜率 $k$。
重新解答：
$\overrightarrow{FA} = (x_1 - 1, y_1), \overrightarrow{FB} = (x_2 - 1, y_2)$
$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = (x_1 - 1)(x_2 - 1) + y_1 y_2 = -1$
由前文知：$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{-9}{3 + 4k^2}$
$y_1 y_2 = k^2 (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{-9k^2}{3 + 4k^2}$
所以：
$$ \frac{-9}{3 + 4k^2} + \frac{-9k^2}{3 + 4k^2} = -1 $$
$$ \frac{-9(1 + k^2)}{3 + 4k^2} = -1 $$
$$ 9(1 + k^2) = 3 + 4k^2 $$
$$ 9 + 9k^2 = 3 + 4k^2 $$
$$ 5k^2 = -6 $$
依然无解。
再次修正题目以确保有解：
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过右焦点 $F(1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点。若 $|AB| = \frac{12}{7}$，求直线 $l$ 的斜率 $k$。