定义 利用导数判断函数单调性，进而证明或求解含参不等式恒成立问题的方法。
从哪来 本知识点建立在 4.2 导数与单调性 和 4.4 导数与最值 之上。核心逻辑是：若 $f(x) \ge g(x)$ 恒成立，等价于 $h(x) = f(x) - g(x) \ge 0$ 恒成立，即 $h(x)_{min} \ge 0$。求最值依赖单调性分析。
为什么 不等式证明的本质是比较两个量的大小。直接比较代数式往往困难，但函数图像的高低关系直观。
1. 转化思想：将“$A \ge B$”转化为“$A - B \ge 0$”，构造新函数 $h(x) = A - B$。
2. 动态视角：导数 $h'(x)$ 描述了 $h(x)$ 的变化趋势（增减）。
3. 极值决定最值：通过 $h'(x)$ 的符号确定 $h(x)$ 的单调区间，从而找到最小值。若最小值非负，则整个函数值非负，原不等式得证。
这是将“静态的不等式关系”转化为“动态的函数性质”的过程，利用了导数作为“变化率”的工具属性。
适合：逻辑严密、擅长代数推导的学生**
**核心：构造函数法（直接法）**
1. **移项
将不等式右边移到左边，令 $f(x) = \text{左边} - \text{右边}$。
2.
求导：计算 $f'(x)$。
3.
判号：分析 $f'(x)$ 的正负区间。
- 若 $f'(x) \ge 0$ 恒成立，则 $f(x)$ 单调递增，只需验证端点值或最小值 $\ge 0$。
- 若 $f'(x)$ 有变号点，求极值点，比较极值与 0 的大小。
4.
结论：若 $f(x)_{min} \ge 0$，则原不等式成立。
*口诀：移项构造，求导判号，最值定生死。*
适合：对复杂导数运算感到恐惧、喜欢直观理解的学生**
**核心：分离参数法（降维打击）**
当不等式中含有参数 $a$，且 $a$ 可以单独分离出来时（如 $a \le \frac{f(x)}{g(x)}$）：
1. **分离
将参数 $a$ 移到一边，其余部分移到另一边，得到 $a \le h(x)$ 或 $a \ge h(x)$。
2.
求最值：此时问题转化为求不含参函数 $h(x)$ 的最值。
3.
比较：
- 若 $a \le h(x)$ 恒成立，则 $a \le h(x)_{max}$。
- 若 $a \ge h(x)$ 恒成立，则 $a \ge h(x)_{min}$。
*优势：避免了处理含参导数的复杂因式分解，将“恒成立问题”转化为“求最值问题”。*
适合：基础薄弱、容易在导数符号判断上出错的学生**
**核心：切线放缩法（局部线性化）**
利用常见函数的切线方程进行放缩。
1. **识别结构
看到 $e^x$ 想到 $e^x \ge x+1$（在 $x=0$ 处的切线）；看到 $\ln x$ 想到 $\ln x \le x-1$。
2.
原理：凸函数图像在切线上方，凹函数图像在切线下方。
3.
应用：
- 证明 $e^x - x - 1 \ge 0$：直接引用 $e^x \ge x+1$。
- 证明 $\ln x \le x - 1$：直接引用 $\ln x \le x - 1$。
*注意：此法适用于特定结构，需记忆常用切线不等式，是快速解题的“捷径”，但需先掌握导数法作为基础。*