定义 通过代数变形、函数性质或几何意义，推导两个实数或代数式大小关系的过程。
从哪来 本知识点建立在 5.2 二项式系数的性质 之上。利用二项式系数 $C_n^k$ 的对称性、单调性及最值性质，是证明组合不等式（如 $2^n > n+1$）的核心工具。
为什么 不等式证明的本质是“化归”。直接比较 $A$ 与 $B$ 往往困难，因此需要构建桥梁：
1. 作差法：将 $A-B$ 转化为完全平方式或正数之和，利用“平方非负”或“正数之和为正”的公理。
2. 函数法：将不等式看作 $f(x) \ge 0$，利用导数判断单调性，将“任意性”转化为“最值”。
3. 组合意义：利用二项式定理展开后各项系数均为正数，通过截断或放缩，将复杂的指数不等式转化为简单的多项式不等式。
核心逻辑是：将未知的大小关系，转化为已知的代数恒等式或函数性质。
适合：逻辑严密、擅长代数运算的学生**
**核心：作差法（综合法）**
1. **步骤
计算 $A-B$，通分/因式分解，判断符号。
2.
口诀：“作差、变形、定号、结论”。
3.
关键点：变形要彻底，直到出现明显的正负因子（如 $(x-1)^2$ 或 $x^2+1$）。
4.
示例：证 $a^2+b^2 \ge 2ab$。
$a^2+b^2-2ab = (a-b)^2 \ge 0$，故 $a^2+b^2 \ge 2ab$。
*强调：等号成立条件必须讨论。*
适合：直观思维强、对函数图像敏感的学生**
**核心：函数单调性法**
1. **思路
构造 $f(x) = A - B$，若 $f'(x) > 0$ 且 $f(x_0) \ge 0$，则 $x \ge x_0$ 时 $f(x) \ge 0$。
2.
优势：避免复杂的代数变形，用“趋势”代替“计算”。
3.
警示：必须明确定义域，且导数符号判断要严谨。
4.
示例：证 $e^x \ge x+1$。
令 $f(x) = e^x - x - 1$，$f'(x) = e^x - 1$。
$x<0$ 时 $f'(x)<0$，$x>0$ 时 $f'(x)>0$，故 $x=0$ 为极小值点。
$f(0)=0$，故 $f(x) \ge 0$。
适合：对组合数学感兴趣、喜欢结构美的学生**
**核心：二项式定理放缩法**
1. **原理
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k$。当 $x>0$ 时，每一项都大于0。
2.
技巧：保留前几项，丢弃其余正项，得到下界。
3.
示例：证 $2^n > n+1$ ($n \ge 2$)。
$2^n = (1+1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$
$= 1 + n + C_n^2 + \dots$
因为 $n \ge 2$，所以 $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} > 0$。
故 $2^n > 1 + n$。
*强调：这是利用“整体大于部分和”的直观逻辑。*