定义 利用二项式定理展开 $(a+b)^n$，得到 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ 的恒等式。
从哪来 基于 3.4 组合数的计算 确定展开式中各项的系数，并作为 5.2 与概率结合（二项分布） 中概率公式推导的代数基础。
为什么 从 $n$ 个相同的因式 $(a+b)$ 相乘出发，每一项都是从 $n$ 个因式中各取一个字母相乘。若取 $k$ 个 $b$，则必取 $n-k$ 个 $a$。从 $n$ 个因式中选出 $k$ 个取 $b$ 的方法数为 $C_n^k$，故该项为 $C_n^k a^{n-k} b^k$。所有可能的 $k$ 值（$0$ 到 $n$）之和即为总展开式。
讲法
适合：逻辑推理型、喜欢探究本质的学生
讲法：乘法原理推导法
1. 写出 $(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n\text{个}}$。
2. 展开时，每一项由 $n$ 个因子各选一个字母相乘得到。
3. 设某项中 $b$ 的个数为 $k$，则 $a$ 的个数为 $n-k$。
4. 从 $n$ 个因子中选出 $k$ 个因子提供 $b$，其余 $n-k$ 个提供 $a$，选法有 $C_n^k$ 种。
5. 因此，含 $a^{n-k}b^k$ 的项共有 $C_n^k$ 个，合并同类项得 $C_n^k a^{n-k} b^k$。
6. $k$ 从 $0$ 变到 $n$，求和即得公式。
适合：模式识别型、擅长记忆公式的学生**
**讲法：结构特征记忆法**
1. **系数
$C_n^0, C_n^1, \dots, C_n^n$，对应杨辉三角第 $n+1$ 行。
2.
指数：$a$ 的指数从 $n$ 递减到 $0$，$b$ 的指数从 $0$ 递增到 $n$。
3.
和不变：每一项中 $a$ 与 $b$ 的指数之和恒等于 $n$。
4.
项数：共 $n+1$ 项。
5.
口诀：“系数按杨辉，指数一增一减，和为 $n$，项数 $n+1$”。
讲法
适合：应用导向型、关注实际意义的学生
讲法：概率模型类比法
1. 将 $a$ 和 $b$ 视为两种互斥结果（如成功/失败）。
2. $C_n^k$ 表示 $n$ 次试验中恰好 $k$ 次发生 $b$ 的排列方式数。
3. 公式本质是计算“$n$ 次独立选择中，选 $k$ 次 $b$ 和 $n-k$ 次 $a$ 的所有可能路径之和”。
4. 强调 $C_n^k$ 是“路径数”，$a^{n-k}b^k$ 是“每条路径的权重”。