定义 函数是定义域中任意元素与值域中唯一元素之间的对应关系，记作 $y=f(x)$。
从哪来 建立在“集合的概念与表示”之上，函数本质上是两个非空集合间的特殊映射。
为什么 因为现实世界中许多量（如时间对应温度）存在“唯一确定”的依赖关系，用集合语言将其抽象化，才能统一描述代数、几何及变化规律，避免歧义。
讲法
适合：抽象思维较强、喜欢逻辑推导的学生
从集合映射角度切入。强调函数 $f: A \to B$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射，核心在于“任意性”（$A$中每个元素都有像）和“唯一性”（每个原像对应唯一像）。通过画韦恩图展示 $A$、$B$ 及对应箭头，指出函数是映射的特例（要求 $A$ 中元素必须都有对应，且不能一对多）。
讲法
适合：直观形象思维好、对纯符号反感的学生
用“自动售货机”或“电梯按钮”类比。投入硬币（$x$）必须得到唯一饮料（$y$），且每种硬币都有对应饮料。若投入硬币可能得到两种饮料（一对多）或某些硬币无反应（无定义），则不是函数。强调“输入唯一，输出唯一”。
讲法
适合：基础薄弱、需要具体情境支撑的学生
从具体实例入手。列举 $y=2x+1$，$x$ 取不同值时 $y$ 的变化。让学生计算几个具体值，发现 $x$ 定则 $y$ 必定。再举反例：$x^2+y^2=1$，当 $x=0$ 时 $y=\pm1$，不唯一，故不是函数。通过正误对比建立“唯一对应”的直觉。