定义 柯西不等式指出：两组实数平方和的乘积，不小于对应项乘积之和的平方。
从哪来 本节为起点，无前置知识点记录。
为什么 从几何向量角度理解：设向量 $\mathbf{a}=(a_1, \dots, a_n)$，$\mathbf{b}=(b_1, \dots, b_n)$。 根据向量数量积定义，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$。 因为 $|\cos\theta| \le 1$，所以 $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。 两边平方即得 $(\sum a_i b_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$。 本质是“投影长度不超过原向量长度”的代数表达。