类型一：线性规划

讲清楚它是什么

定义　在满足一组线性约束条件下，求线性目标函数最大值或最小值的数学模型与方法。

从哪来　本节为高三复习起点，无前置知识点记录。基于高中数学必修及选择性必修中“不等式”与“平面解析几何”（直线方程、斜率）的基础知识构建。

为什么　线性规划的核心原理是“顶点最优性”。 1. 几何本质：目标函数 $z = ax + by$ 可变形为 $y = -\frac{a}{b}x + \frac{z}{b}$。这是一组斜率固定（$k = -\frac{a}{b}$）的平行直线。 2. 可行域性质：线性不等式组围成的区域是凸多边形（或无界区域）。 3. 推导逻辑：当这条直线在可行域内平移时，$z$ 值随之线性变化。由于可行域是凸的，直线最后离开可行域的点（或最先进入的点）必然落在多边形的顶点上。因此，只需比较顶点处的函数值即可找到最值，无需遍历区域内所有点。

讲法

代数消元法（适合逻辑严密、擅长计算但空间想象力较弱的学生） 1. 将目标函数 $z$ 视为常数，视为方程 $ax + by = z$。 2. 联立约束条件中的边界直线方程，求出所有交点（顶点）坐标。 3. 将每个顶点坐标代入目标函数计算 $z$ 值。 4. 比较数值大小，确定最大/最小值。 *优点*：步骤机械，不易出错，适合基础薄弱学生建立信心。

讲法

几何平移法（适合直观思维强、擅长数形结合的学生） 1. 画出可行域，标出所有顶点。 2. 分析目标函数 $z = ax + by$ 的几何意义：截距 $\frac{z}{b}$ 与 $z$ 成正比（注意 $b$ 的正负）。 3. 画出斜率为 $-\frac{a}{b}$ 的直线，在可行域内平移。 4. 观察直线最后离开（求最大）或最先接触（求最小）可行域的顶点。 *优点*：直观快速，能处理无界区域或复杂图形，体现数学美感。

讲法

斜率比较法（适合思维敏捷、追求解题速度的尖子生） 1. 计算目标函数直线的斜率 $k_z = -\frac{a}{b}$。 2. 计算可行域各边界直线的斜率 $k_1, k_2, \dots$。 3. 根据 $k_z$ 与边界斜率的大小关系，直接判断最优顶点位于哪两条边界直线的交点处，无需画出完整图形或计算所有顶点。 *优点*：极大提高解题速度，适合高考压轴题或时间紧张时的策略。

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练一道

变式

已知实数 $x, y$ 满足 $\begin{cases} x + y \ge 2 \\ x - y \le 1 \\ y \ge 1 \end{cases}$，求 $z = x + 2y$ 的最小值。

试试手自己判

检测题

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \ge -2 \\ y \ge 0 \end{cases}$，则目标函数 $z = 2x + y$ 的最大值为多少？

看答案和判分标准

答案：8
判对标准：
1. 学生能正确画出可行域，并准确找出三个顶点：$(0,0), (0,4), (3,1)$。
- $x+y=4$ 与 $x-y=-2 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1, y=3$？
- 等等，让我重新算一下检测题的顶点，确保答案正确。
- 约束：
1. $x + y \le 4$
2. $x - y \ge -2 \Rightarrow y \le x + 2$
3. $y \ge 0$
- 顶点：
- $L1: x+y=4$ 与 $L3: y=0 \Rightarrow x=4 \Rightarrow A(4,0)$
- $L2: y=x+2$ 与 $L3: y=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow B(-2,0)$
- $L1$ 与 $L2$: $x+y=4, y=x+2 \Rightarrow x+x+2=4 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1, y=3 \Rightarrow C(1,3)$
- 计算 $z = 2x + y$:
- $z_A = 2(4) + 0 = 8$
- $z_B = 2(-2) + 0 = -4$
- $z_C = 2(1) + 3 = 5$
- 最大值是 8。

修正检测题答案：8

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