定义 形如 $|f(x)| < a$ 或 $|f(x)| > a$ ($a>0$) 的不等式，需转化为复合不等式或不等式组求解。
从哪来 本节为高三第1讲起点，无前置知识点记录。基于高一已掌握的“绝对值的几何意义”、“一元二次不等式解法”及“集合运算”进行综合提升。
为什么 绝对值 $|x|$ 本质是数轴上点 $x$ 到原点的距离。
1. 几何直观：$|x| < a$ 表示距离原点小于 $a$ 的点，即区间 $(-a, a)$；$|x| > a$ 表示距离原点大于 $a$ 的点，即 $(-\infty, -a) \cup (a, +\infty)$。
2. 代数转化：利用 $|A| < B \iff -B < A < B$ 和 $|A| > B \iff A > B \text{ 或 } A < -B$ ($B>0$) 的等价变形，将绝对值问题转化为普通不等式问题，这是解决此类问题的核心逻辑。
数轴距离法**
**适合学生
形象思维强、抽象代数运算易出错的学生。
讲解逻辑：
1. 强调 $|f(x)|$ 代表 $f(x)$ 与 $0$ 的距离。
2. $|f(x)| < a$：在数轴上找距离 $0$ 小于 $a$ 的区域，即中间部分。
3. $|f(x)| > a$：在数轴上找距离 $0$ 大于 $a$ 的区域，即两边部分。
4. 若 $f(x)$ 是二次函数，先画出抛物线，看其与 $y=a$ 和 $y=-a$ 的位置关系，结合图像确定 $x$ 的范围。
分类讨论法（去绝对值）**
**适合学生
逻辑严密、习惯代数推导、对几何直观不敏感的学生。
讲解逻辑：
1. 根据绝对值内部表达式 $f(x)$ 的正负，以 $f(x)=0$ 的根为分界点，将定义域分为若干区间。
2. 在每个区间内去掉绝对值符号：
- 若 $f(x) \ge 0$，则 $|f(x)| = f(x)$；
- 若 $f(x) < 0$，则 $|f(x)| = -f(x)$。
3. 分别解出各区间内的不等式，最后取并集。
4.
注意：此法通用性强，但计算量大，需强调“先定界，再去符，后求解，最后并”。
函数图像法**
**适合学生
具备较强函数图像分析能力、喜欢数形结合的学生。
讲解逻辑：
1. 构造两个函数 $y = |f(x)|$ 和 $y = a$（或 $y = g(x)$）。
2. $|f(x)| < a$ 等价于 $y = |f(x)|$ 的图像在直线 $y = a$ 下方的部分对应的 $x$ 范围。
3. $|f(x)| > a$ 等价于 $y = |f(x)|$ 的图像在直线 $y = a$ 上方的部分对应的 $x$ 范围。
4. 对于 $|f(x)| < g(x)$，需比较两图像的高低关系。此法特别适合处理 $f(x)$ 为二次函数且 $a$ 为变量的情况。