检测题
解不等式 $\frac{x^2 - 4}{x - 1} \ge 0$
答案：$\{x \mid x \le -2 \text{ 或 } -1 < x \le 2 \text{ 且 } x \neq 1\}$ 即 $(-\infty, -2] \cup (-1, 1) \cup (1, 2]$
*更正：重新计算*
方程 $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$。
分母 $x-1=0 \Rightarrow x=1$。
转化为 $(x^2-4)(x-1) \ge 0$ 且 $x \neq 1$。
根为 $-2, 1, 2$。
穿针引线：
$x > 2$: $+ \cdot + = +$ (满足)
$1 < x < 2$: $+ \cdot + = +$ (满足)
$-2 < x < 1$: $- \cdot - = +$ (满足)
$x < -2$: $+ \cdot - = -$ (不满足)
检查端点：
$x=2$: 分子0，分母1，原式0，满足 $\ge 0$。
$x=-2$: 分子0，分母-3，原式0，满足 $\ge 0$。
$x=1$: 分母0，无意义，排除。
所以解集为 $x \le -2$ 或 $-2 < x < 1$ 或 $1 < x \le 2$。
合并：$x \le -2$ 或 $-2 < x < 1$ 或 $1 < x \le 2$。
即 $(-\infty, -2] \cup (-2, 1) \cup (1, 2]$。
等等，$-2$ 是分子根，可以取。
区间表示：$(-\infty, -2] \cup (-2, 1) \cup (1, 2]$。
注意：$-2$ 和 $2$ 是分子根，可以取；$1$ 是分母根，不可取。
在 $(-2, 1)$ 区间内，例如 $x=0$，$\frac{-4}{-1}=4 \ge 0$，成立。
在 $(1, 2)$ 区间内，例如 $x=1.5$，$\frac{2.25-4}{0.5} = \frac{-1.75}{0.5} < 0$，不成立！
重新检查符号：
$\frac{x^2-4}{x-1} \ge 0$
根：$-2, 1, 2$。
测试区间：
1. $x > 2$ (如3): $\frac{9-4}{2} > 0$，成立。
2. $1 < x < 2$ (如1.5): $\frac{2.25-4}{0.5} < 0$，不成立。
3. $-2 < x < 1$ (如0): $\frac{-4}{-1} > 0$，成立。
4. $x < -2$ (如-3): $\frac{9-4}{-4} < 0$，不成立。
端点：
$x=2$: 0，成立。
$x=-2$: 0，成立。
$x=1$: 无意义。
所以解集是 $(-\infty, -2] \cup (-2, 1) \cup (2, \infty)$？
不对，$(-2, 1)$ 是成立的。
$(-\infty, -2]$ 成立。
$(2, \infty)$ 成立。
所以解集是 $(-\infty, -2] \cup (-2, 1) \cup (2, \infty)$。
合并 $(-\infty, -2]$ 和 $(-2, 1)$ 得到 $(-\infty, 1)$。
所以最终解集：$(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$。
再次验证：
$x=0 \in (-\infty, 1)$，$\frac{-4}{-1}=4 \ge 0$，对。
$x=3 \in (2, \infty)$，$\frac{5}{2}=2.5 \ge 0$，对。
$x=1.5 \notin$ 解集，$\frac{-1.75}{0.5} < 0$，对。
$x=-3 \notin$ 解集，$\frac{5}{-4} < 0$，对。
判对标准：
1. 正确识别出三个关键点：$-2, 1, 2$。
2. 正确判断出 $x=1$ 必须排除（空心圈）。
3. 正确判断出 $x=-2$ 和 $x=2$ 可以取（实心点，因为不等号含等号且分子为0）。
4. 正确判断出解集区间为 $(-\infty, 1) \cup [2, +\infty)$。
5. 若学生写出 $(-\infty, -2] \cup (-2, 1) \cup [2, +\infty)$ 也算对，但需合并简化。