定义 形如 $|f(x)| < a$ 或 $|f(x)| > a$（$a>0$）的不等式，本质是距离小于或大于定值的集合。
从哪来 本节为高三第1讲起点，无前置知识点记录，直接基于初中绝对值几何意义及高中不等式基础构建。
为什么 绝对值 $|x|$ 的几何意义是数轴上点 $x$ 到原点 $0$ 的距离。
$|x| < a$ 意味着点 $x$ 到原点的距离小于 $a$，即 $x$ 落在 $(-a, a)$ 区间内；
$|x| > a$ 意味着点 $x$ 到原点的距离大于 $a$，即 $x$ 落在 $(-\infty, -a) \cup (a, +\infty)$ 区间外。
推广到 $|f(x)|$，即函数值 $f(x)$ 到 $0$ 的距离，故转化为 $-a < f(x) < a$ 或 $f(x) > a$ 或 $f(x) < -a$。这是由“距离”这一几何属性直接推导出的代数性质。
数形结合法**
在数轴上画出原点，标记 $-a$ 和 $a$。
$|x| < a$：找离原点“近”的点，即中间部分；
$|x| > a$：找离原点“远”的点，即两边部分。
**适合学生
形象思维强、对纯代数运算感到枯燥、容易混淆“大于”和“小于”方向的学生。
零点分段法（代数法）**
利用定义 $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$。
对于 $|f(x)| < a$，直接去绝对值符号转化为 $-a < f(x) < a$；
对于 $|f(x)| > a$，转化为 $f(x) > a$ 或 $f(x) < -a$。
强调“小于取中间，大于取两边”的口诀。
**适合学生
逻辑严密、偏好程序化解题步骤、擅长代数变形但空间想象力一般的学生。
几何距离法（推广）**
将 $|f(x)|$ 视为动点 $P(x, f(x))$ 的纵坐标到 $x$ 轴的距离。
$|f(x)| < a$ 表示函数图像位于直线 $y=a$ 和 $y=-a$ 之间的部分；
$|f(x)| > a$ 表示函数图像位于直线 $y=a$ 上方或 $y=-a$ 下方的部分。
**适合学生
函数图像能力强、喜欢从整体结构理解问题、准备学习导数或解析几何的学生。