定义 二元一次不等式（组）在平面直角坐标系中表示的半平面（含边界）或区域。
从哪来 本知识点建立在一次函数图像（直线方程）及平面直角坐标系的基础之上。虽然图谱未记录具体前置，但逻辑上必须依赖“直线将平面分为两部分”这一几何事实。
为什么 核心原理是连续性与符号不变性。
1. 直线 $Ax+By+C=0$ 将平面分为两个互不连通的半平面。
2. 对于不等式 $Ax+By+C > 0$，其解集是连续的。如果在其中一个半平面内取一点 $(x_0, y_0)$ 满足不等式，由于函数 $f(x,y)=Ax+By+C$ 是连续的，且该半平面内任意两点连线不经过直线（即 $f(x,y)$ 不会变号），因此该半平面内所有点都满足同一不等式。
3. 反之，另一半平面的点必然使 $Ax+By+C$ 变号，从而满足相反的不等式。
4. 因此，只需通过测试一个特殊点（通常选原点）的符号，即可确定整个半平面的归属。
“原点测试法”——适合逻辑清晰、习惯程序化解题的学生**
1. **步骤固化
- 第一步：画直线 $Ax+By+C=0$（注意：若不等号含等号，画实线；否则画虚线）。
- 第二步：判断原点 $(0,0)$ 是否在直线上。
- 第三步：若原点不在直线上，代入 $(0,0)$ 计算 $C$ 的值。
- 若 $C > 0$，则原点所在的一侧满足 $>0$ 或 $\ge 0$ 的不等式；另一侧满足 $<0$ 或 $\le 0$。
- 若 $C < 0$，则原点所在的一侧满足 $<0$ 或 $\le 0$ 的不等式；另一侧满足 $>0$ 或 $\ge 0$。
- 第四步：若原点在直线上（即 $C=0$），选取直线外任意简单点（如 $(1,0)$ 或 $(0,1)$）代入判断。
2.
口诀：“直线定界，原点定域”。
“斜率与截距直观法”——适合几何直觉强、喜欢从函数角度理解的学生**
1. **变形
将不等式变形为 $y > -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ （假设 $B>0$，若 $B<0$ 需变号）。
2.
几何意义：
- 直线 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ 是边界。
- 不等式 $y > \dots$ 表示直线上方的区域；$y < \dots$ 表示直线下方的区域。
3.
优势：无需代入计算，直接根据 $y$ 的相对大小判断上下方。
4.
注意：此法要求 $B \neq 0$。若 $B=0$（垂直于x轴的直线），则直接看 $x$ 的范围（$x > -C/A$ 或 $x < -C/A$）。
“向量法/法向量法”——适合空间想象力强、为后续线性规划做铺垫的学生**
1. **原理
直线 $Ax+By+C=0$ 的法向量为 $\vec{n} = (A, B)$。
2.
判断：
- 对于不等式 $Ax+By+C > 0$，解集区域位于法向量 $\vec{n}$ 指向的一侧。
- 对于不等式 $Ax+By+C < 0$，解集区域位于法向量 $\vec{n}$ 反方向的一侧。
3.
操作：画出直线，画出法向量箭头，箭头指向哪边，哪边就是 $>0$ 的区域。
4.
适用场景：快速判断复杂系数下的区域方向，避免计算错误。