2. 线性规划步骤

讲清楚它是什么

定义　在满足线性约束条件下，求线性目标函数最大值或最小值的数学方法。

从哪来　本节为线性规划起点，无前置知识点依赖，直接基于高中数学必修模块中“不等式”与“平面直角坐标系”的基础概念构建。

为什么　线性规划的核心逻辑是“可行域决定范围，目标函数决定方向”。 1. 几何意义：线性不等式组在平面上围成的区域（可行域）是凸多边形。 2. 最优解位置：目标函数 $z=ax+by$ 可变形为 $y = -\frac{a}{b}x + \frac{z}{b}$，这是一组斜率固定的平行线。当这条直线在可行域内平移时，截距 $\frac{z}{b}$ 最大或最小的位置必然出现在多边形的顶点上。 3. 步骤必要性：因此，解题必须遵循“画区域（确定边界）→ 移直线（寻找极值点）→ 算坐标（求解方程组）”的逻辑闭环，缺一不可。

适合类型：视觉型/几何直觉强的学生** **核心比喻：“探照灯扫过围墙”** 1. **画墙

把每个不等式看作一堵墙，先画出所有墙围成的“院子”（可行域），注意虚实线（包含边界与否）。 2. 打光：目标函数 $z$ 就像一束探照灯的光束，光束的斜率由系数决定，是固定的。 3. 找角：光束扫过院子，最先照到或最后离开院子的地方，一定是院子的“墙角”（顶点）。 4. 操作：只需计算几个角点的坐标，代入 $z$ 比较即可，不用算整个院子。

适合类型：逻辑型/代数思维强的学生** **核心逻辑：“斜率比较法”** 1. **定斜率

将目标函数 $z=ax+by$ 转化为斜截式 $y = -\frac{a}{b}x + \frac{z}{b}$，记目标直线斜率为 $k_{obj} = -\frac{a}{b}$。 2. 比边界：计算可行域各边界直线的斜率 $k_{edge}$。 3. 判方向： - 若求最大值，观察 $k_{obj}$ 与边界斜率的大小关系，确定直线是“向上平移”还是“向下平移”能取得最值。 - 最优解一定出现在 $k_{obj}$ 介于两条相邻边界斜率之间的那个顶点。 4. 解方程：联立该顶点所在的两条边界直线方程，解出 $x, y$，代入 $z$。

适合类型：考试焦虑型/追求速度的学生** **核心口诀：“一画二移三算”** 1. **一画

快速画出可行域。技巧：先画过原点的平行线，根据不等号方向确定半平面，最后取交集。 2. 二移：画出目标函数直线（过原点），根据 $z$ 增大方向平移。 - 若 $b>0$，$z$ 增大 $\rightarrow$ 截距增大 $\rightarrow$ 直线向上移。 - 若 $b<0$，$z$ 增大 $\rightarrow$ 截距减小 $\rightarrow$ 直线向下移。 3. 三算：直接找平移过程中最后接触的那个顶点，联立解方程。 - 提速技巧：如果顶点坐标是整数，直接代入；如果是分数，优先解那个看起来“最尖”的角。

看不明白？看一段视频 ▾待生成

练一道

基础题

已知实数 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$，求目标函数 $z = 2x + 3y$ 的最大值。

变式

已知实数 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x - y + 2 \ge 0 \\ x + y - 4 \le 0 \\ y \ge 1 \end{cases}$，求目标函数 $z = x - 2y$ 的最小值。

看解答过程

1. 画可行域： - $x \ge 0, y \ge 0$：第一象限。 - $x + y \le 4$：直线 $x+y=4$ 下方区域。 - 可行域为顶点为 $(0,0), (4,0), (0,4)$ 的三角形。 2. 移直线： - 目标函数 $z = 2x + 3y \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3}$。 - 斜率 $k = -\frac{2}{3}$。 - 求最大值，即求截距 $\frac{z}{3}$ 最大，直线向上平移。 3. 找顶点： - 直线从原点向上平移，最后离开可行域的点是 $(0,4)$。 - （验证：$(4,0)$ 时 $z=8$；$(0,4)$ 时 $z=12$；$(0,0)$ 时 $z=0$）。 4. 计算： - 最大值 $z = 2(0) + 3(4) = 12$。

试试手自己判

检测题

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \ge 0 \\ y \ge 1 \end{cases}$，则 $z = 3x - y$ 的最大值为多少？

看答案和判分标准

答案：9
判对标准：
1. 过程分：
- 正确画出可行域（或正确列出三个顶点坐标）：得 2 分。
- 顶点应为：$(1,3)$ [由 $x+y=4, x-y=0$ 解得], $(3,1)$ [由 $x+y=4, y=1$ 解得], $(1,1)$ [由 $x-y=0, y=1$ 解得]。
- 正确判断最优解顶点：得 2 分。
- 目标函数 $z=3x-y$，斜率 $k=3$。
- 边界斜率：$x+y=4 (k=-1)$, $x-y=0 (k=1)$, $y=1 (k=0)$。
- $k=3$ 大于所有边界斜率。
- 求最大值，直线 $y=3x-z$ 向下平移（截距 $-z$ 最小，即 $z$ 最大？不对。$y=3x-z \Rightarrow z=3x-y$。$z$ 越大，截距 $-z$ 越小，直线越靠下。或者直接用顶点代入法更稳妥）。
- 顶点代入：
- $(1,3): z = 3(1)-3 = 0$
- $(3,1): z = 3(3)-1 = 8$
- $(1,1): z = 3(1)-1 = 2$
- 等等，重新检查顶点。
- $x+y \le 4$
- $x-y \ge 0 \Rightarrow x \ge y$
- $y \ge 1$
- 交点1: $x+y=4, x-y=0 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2, y=2$。点 $A(2,2)$。
- 交点2: $x+y=4, y=1 \Rightarrow x=3, y=1$。点 $B(3,1)$。
- 交点3: $x-y=0, y=1 \Rightarrow x=1, y=1$。点 $C(1,1)$。
- 可行域是 $\triangle ABC$。
- 代入 $z=3x-y$:
- $A(2,2): z = 6-2=4$
- $B(3,1): z = 9-1=8$
- $C(1,1): z = 3-1=2$
- 最大值是 8。
- 修正答案：8。
- 判对标准更新：
- 正确求出三个顶点 $(2,2), (3,1), (1,1)$：得 2 分。
- 正确计算各点 $z$ 值并比较：得 2 分。
- 最终答案 8：得 1 分。
- 若学生用斜率法：目标斜率 3。边界斜率 -1, 1, 0。$z=3x-y \Rightarrow y=3x-z$。截距 $-z$。$z$ 最大 $\Leftrightarrow$ 截距最小 $\Leftrightarrow$ 直线向下平移。
- 直线 $y=3x$ 斜率 3，比所有边界都陡。向下平移时，最后离开可行域的点应该是右下角的 $B(3,1)$。
- 答案 8 正确。

最终检测题答案：8

容易错在哪儿 ▾点开看

下一步

→

往下走：空间几何体与空间向量

→

往下走：直线、圆与圆锥曲线