基础题
已知变量 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x+y \le 4 \\ x-y \ge -2 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$，求目标函数 $z = 2x + y$ 的最大值。
变式
已知 $x, y$ 满足 $\begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 1 \\ x+y \le 5 \end{cases}$，若目标函数 $z = ax + y$ 在点 $(1, 4)$ 处取得最大值，且该最大值唯一，求实数 $a$ 的取值范围。
1. 画出可行域：
* $x+y=4$ 过 $(0,4)$ 和 $(4,0)$。
* $x-y=-2$ 即 $y=x+2$，过 $(-2,0)$ 和 $(0,2)$。
* 结合 $x \ge 0, y \ge 0$，可行域为第一象限内的多边形。
2. 求顶点坐标：
* 原点 $O(0,0)$。
* $x=0$ 与 $x-y=-2$ 交点：$y=2$，得 $A(0,2)$。
* $x+y=4$ 与 $x-y=-2$ 联立：
$$ \begin{cases} x+y=4 \\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1, y=3 $$
得 $B(1,3)$。
* $x+y=4$ 与 $y=0$ 交点：$x=4$，得 $C(4,0)$。
3. 代入计算：
* $z(0,0) = 0$
* $z(0,2) = 2(0) + 2 = 2$
* $z(1,3) = 2(1) + 3 = 5$
* $z(4,0) = 2(4) + 0 = 8$
4. 结论：最大值为 8。