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3. 线线垂直

空间几何体与空间向量 · 高三
讲清楚它是什么

定义 空间中两条直线相交成90°角,或异面直线所成角为90°,称为线线垂直。

从哪来 本节为高三立体几何起点,无前置知识点记录,直接基于初中平面几何中“垂直”概念及向量基础进行拓展。

为什么 在平面几何中,垂直仅指相交成直角。进入空间后,直线位置关系增加“异面”情形。若仅用“相交”定义,会遗漏大量空间垂直关系(如正方体中棱与对角线)。因此,定义扩展为“所成角为90°”,统一了相交与异面两种情况,使判定定理(如线面垂直性质)能普适应用。

直观演示法
用两根筷子模拟直线,先摆成相交直角,再平移其中一根使其异面但方向不变,强调“方向垂直”而非“位置接触”。适合空间想象力较弱、依赖视觉直观的学生。
向量代数法
引入空间向量,指出两直线垂直等价于其方向向量数量积为零($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$)。将几何问题转化为代数计算,避免空间想象困难。适合代数运算能力强、偏好逻辑推导的学生。
判定定理串联法
从“线面垂直”出发,强调“若直线垂直于平面,则垂直于平面内所有直线”。通过线面垂直这一桥梁,将线线垂直判定转化为更易操作的线面垂直判定。适合擅长定理链条推理、习惯综合法的学生。
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练一道
基础题
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$,求证:$AB_1 \perp A_1B$。
变式
已知三棱锥 $P-ABC$,$PA \perp$ 平面 $ABC$,$AB \perp BC$。求证:$BC \perp$ 平面 $PAB$,并判断 $BC$ 与 $PA$ 的位置关系。
试试手自己判
检测题
在空间直角坐标系中,直线 $l_1$ 过点 $A(1,0,0)$ 且方向向量为 $\vec{v_1}=(1,1,0)$,直线 $l_2$ 过点 $B(0,1,1)$ 且方向向量为 $\vec{v_2}=(1,-1,1)$。判断 $l_1$ 与 $l_2$ 是否垂直,并说明理由。
看答案和判分标准
答案:垂直。
判对标准:
1. 正确计算方向向量数量积:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1\times1 + 1\times(-1) + 0\times1 = 0$。
2. 得出“数量积为0,故方向向量垂直”的结论。
3. 指出“方向向量垂直等价于直线垂直”,不要求直线相交。
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