检测题
已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v} = (1, 1, 1)$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, 0, 0)$，求直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小。
答案：$45^\circ$
判对标准：
1. 正确列出公式 $\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$ 得 1 分。
2. 正确计算点积与模长，得出 $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 得 1 分。
*(注：此处需修正，$\vec{v}=(1,1,1), \vec{n}=(1,0,0)$，$\vec{v}\cdot\vec{n}=1$，$|\vec{v}|=\sqrt{3}, |\vec{n}|=1$，$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$。$\theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3})$。若题目设计为 $\vec{v}=(1,1,0), \vec{n}=(1,0,0)$，则 $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\theta=45^\circ$。为确保答案简洁，以下按修正后的标准题判定)*
修正检测题：
已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v} = (1, 1, 0)$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, 0, 0)$，求直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小。
修正答案：
$45^\circ$
修正判对标准：
1. 使用公式 $\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。
2. 计算得 $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 得出 $\theta = 45^\circ$。
若学生给出 $45^\circ$ 且过程正确，判对；若给出 $90^\circ$ 或 $0^\circ$，判错。