‹ 回去

类型二：求空间角

空间几何体与空间向量　·　高三
讲清楚它是什么

定义　利用空间向量坐标运算，求异面直线、直线与平面、平面与平面之间夹角的方法。

从哪来　本节为高三立体几何向量法专题起点，基于高中数学必修二“空间向量及其运算”及选择性必修一“空间向量与立体几何”中关于向量夹角公式及法向量定义的知识体系。

为什么　传统几何法求空间角需通过繁琐的辅助线构造平面角，对空间想象力要求极高且易出错。向量法将“形”的问题转化为“数”的计算，利用向量夹角余弦公式 $\cos\theta = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（注意绝对值处理），实现了算法化、程序化求解，降低了思维负荷，提高了计算准确率。

坐标法（通法）
建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出相关向量坐标，直接代入向量夹角公式。
适合：空间想象力一般，但代数运算能力较强，喜欢按部就班、步骤清晰的学生。
基底法（非坐标）
选取一组不共面的基底向量（如 $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1}$），将目标向量用基底表示，利用基底间的模长和夹角进行数量积运算。
适合：几何直观能力强，擅长逻辑推导，不愿建立坐标系或题目中缺乏垂直关系的特殊图形（如正四面体、斜棱柱）的学生。
混合策略法
先通过几何性质简化向量（如利用中点、平行关系转化向量），再结合少量坐标计算或纯基底运算。
适合：基础扎实，追求解题速度与优雅，能灵活判断何时用坐标、何时用基底的高阶学生。
看不明白？看一段视频 ▾待生成
练一道
基础题
如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 1，求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成角的余弦值。
变式
在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA=AB=2$。求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 所成二面角的余弦值。
试试手自己判
检测题
在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2, AD=1, AA_1=1$。求直线 $BC_1$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
看答案和判分标准
答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
判对标准：
1. 正确建立坐标系并写出 $B(2,0,0), C(2,1,0), C_1(2,1,1)$ 等关键坐标（或等价基底表示）。
2. 正确求出直线方向向量 $\vec{BC_1}=(0,1,1)$ 和平面法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$（或等价向量）。
3. 正确应用线面角公式 $\sin\theta = |\cos\langle \vec{BC_1}, \vec{n} \rangle| = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 最终结果正确。
容易错在哪儿 ▾点开看
这一步没懂？写一句问老师 ›
内容由卡片自动生成 · 有不对的地方告诉老师
这张卡有问题？告诉老师 ›