检测题
已知圆 $C: x^2 + y^2 = 4$，点 $M(1, 1)$。问：圆上是否存在两点 $A, B$，使得 $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$？若存在，求直线 $AB$ 的方程；若不存在，说明理由。
答案：存在。直线 $AB$ 的方程为 $x + y - 2 = 0$ 或 $x + y + 2 = 0$（注：此处需仔细验证，见下方判对标准）。
判对标准：
1. 正确思路：
- 设 $A, B$ 在圆上，$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ 意味着 $\angle AMB = 90^\circ$。
- 点 $M(1,1)$ 在圆内（$1^2+1^2=2<4$）。
- 以 $AB$ 为直径的圆过点 $M$。
- 设直线 $AB$ 方程为 $y-1 = k(x-1)$ 或 $x=1$。
- 更简便方法：设 $AB$ 中点为 $D$，则 $OD \perp AB$。且 $M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上 $\Rightarrow MD = \frac{1}{2}AB$。
- 或者使用代数法：设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
- 实际上，$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ 等价于点 $M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。
- 设直线 $AB$ 为 $x + y = m$。圆心 $O(0,0)$ 到直线距离 $d = \frac{|m|}{\sqrt{2}}$。
- 弦长 $|AB| = 2\sqrt{4 - d^2}$。
- $M$ 到直线 $AB$ 的距离 $h = \frac{|1+1-m|}{\sqrt{2}} = \frac{|2-m|}{\sqrt{2}}$。
- 在 $\triangle MAB$ 中，$MA \perp MB$，则 $M$ 到 $AB$ 的距离 $h$ 满足 $h^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = |MA|^2$? 不对。
- 正确几何关系：$M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上 $\Rightarrow$ $M$ 到 $AB$ 中点 $D$ 的距离等于半径 $R' = \frac{|AB|}{2}$。
- 即 $|MD| = \frac{|AB|}{2}$。
- $|AB| = 2\sqrt{4 - d^2}$，所以 $\frac{|AB|}{2} = \sqrt{4 - d^2}$。
- $|MD|^2 = 4 - d^2$。
- $D$ 是 $AB$ 中点，$OD \perp AB$。$M, D, O$ 构成直角三角形？不一定。
- 向量法更稳妥：
$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{OA}-\vec{OM}) \cdot (\vec{OB}-\vec{OM}) = \vec{OA}\cdot\vec{OB} - \vec{OM}\cdot(\vec{OA}+\vec{OB}) + |\vec{OM}|^2 = 0$。
设 $AB$ 中点为 $D$，则 $\vec{OA}+\vec{OB} = 2\vec{OD}$。
$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = |\vec{OD}|^2 - |\vec{AD}|^2$ (因为 $OA^2 = OD^2 + AD^2$)。
此路较繁。
推荐解法：
设直线 $AB$ 斜率为 $k$，方程 $y-1 = k(x-1)$。
圆心 $O$ 到直线距离 $d = \frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}}$。
半弦长 $r' = \sqrt{4-d^2}$。
$M$ 到直线距离 $h = 0$? 不对，$M$ 在直线上吗？题目没说 $M$ 在 $AB$ 上。