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3. 常见分布

概率与统计 · 高三
讲清楚它是什么

定义 描述随机变量取值规律的概率函数,如正态、二项、超几何分布等。

从哪来 本节为起点,基于高中数学必修及选择性必修中已掌握的随机变量及其分布基础概念。

为什么 现实世界数据呈现特定规律(如误差服从正态、独立重复试验服从二项),建立分布模型可将随机现象量化,从而进行概率计算与统计推断。

直观图示法
通过大量模拟实验(如抛硬币、测量身高)绘制频率直方图,观察其趋近于理论曲线(如钟形曲线),适合视觉型、感性思维的学生。
公式推导法
从排列组合原理出发,严格推导二项分布概率公式 $P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$,强调逻辑严密性,适合逻辑型、理性思维的学生。
对比辨析法
将超几何分布(不放回)与二项分布(独立重复)并列,通过具体情境(如抽奖)对比差异,适合易混淆、需强化区分的学生。
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练一道
基础题
某射手每次命中概率为0.8,独立射击3次,求恰好命中2次的概率。
变式
袋中有5个红球、5个白球,从中不放回抽取3次,求恰好抽到2个红球的概率。
试试手自己判
检测题
某工厂产品合格率为90%,现随机抽取10件,求至少有9件合格的概率。
看答案和判分标准
答案:$P(X \ge 9) = P(X=9) + P(X=10) = C_{10}^9 (0.9)^9 (0.1)^1 + C_{10}^{10} (0.9)^{10} = 10 \times 0.38742 \times 0.1 + 0.34868 \approx 0.736$。
判对标准:
正确识别为二项分布;正确列出 $X=9$ 和 $X=10$ 两项;计算结果误差在 $\pm 0.01$ 内。
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