检测题
在区间 $[0, 4]$ 上随机取一个数 $x$，在区间 $[0, 2]$ 上随机取一个数 $y$，求 $x + y > 3$ 的概率。
答案：$0.5$
判对标准：
1. 正确识别样本空间为矩形区域：$0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2$，面积 $S_\Omega = 4 \times 2 = 8$。（2分）
2. 正确画出直线 $x + y = 3$ 在矩形内的截线，确定满足 $x + y > 3$ 的区域为右上角的三角形。（2分）
3. 正确计算该三角形面积：顶点为 $(1,2), (4,2), (4,-1)$ 的交点... 等等，需准确计算。
- 直线 $x+y=3$ 与 $y=2$ 交于 $(1,2)$。
- 直线 $x+y=3$ 与 $x=4$ 交于 $(4,-1)$，但在矩形内 $y \ge 0$，所以与 $y=0$ 交于 $(3,0)$。
- 满足 $x+y>3$ 的区域是矩形右上角，由点 $(1,2), (4,2), (4,0), (3,0)$ 围成的梯形？不，是三角形。
- 顶点：$(1,2)$, $(4,2)$, $(4,0)$? 不对。
- 区域是 $x \in [1,4], y \in [0,2]$ 且 $y > 3-x$。
- 当 $x=1, y>2$ (无解，因为 $y \le 2$)。
- 当 $x=3, y>0$。
- 当 $x=4, y>-1$ (即 $y>0$)。
- 所以区域是顶点为 $(1,2), (4,2), (3,0)$ 的三角形？
- 检查：$(1,2)$ 在直线上，$(3,0)$ 在直线上。
- 区域是 $x$ 从1到4，$y$ 从 $3-x$ 到 2。
- 这是一个三角形，底边在 $x=4$ 上？不。
- 顶点：$A(1,2)$, $B(4,2)$, $C(3,0)$。
- 面积 = $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。
- 以 $AB$ 为底，长度 $4-1=3$，高为 $2-0=2$。
- 面积 $S_A = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。
4. 计算概率 $P = \frac{3}{8}$。（2分）
*更正*：我之前的快速心算有误，重新严格计算。
样本空间：$x \in [0,4], y \in [0,2]$。面积 $8$。
事件：$x+y > 3$。
边界线 $x+y=3$。
与 $y=2$ 交点：$x=1 \Rightarrow (1,2)$。
与 $x=4$ 交点：$y=-1$ (超出范围)。
与 $y=0$ 交点：$x=3 \Rightarrow (3,0)$。
满足 $x+y>3$ 的区域在直线右上方。
在矩形 $[0,4] \times [0,2]$ 内，该区域顶点为 $(1,2), (4,2), (4,0), (3,0)$。
这是一个梯形。
上底（$y=2$ 边）：$x$ 从 $1$ 到 $4$，长度 $3$。
下底（$y=0$ 边）：$x$ 从 $3$ 到 $4$，长度 $1$。
高：$2$。
面积 $S_A = \frac{(3+1) \times 2}{2} = 4$。
概率 $P = \frac{4}{8} = 0.5$。
最终判对标准：
1. 样本空间面积 $8$。（1分）
2. 正确识别满足条件的区域为梯形，顶点 $(1,2), (4,2), (4,0), (3,0)$。（2分）
3. 正确计算梯形面积为 $4$。（1分）
4. 得出概率 $0.5$。（1分）