例4：利用Venn图解题

讲清楚它是什么

定义　利用集合的包含、相交、并集关系，将抽象的数量关系转化为直观图形面积或区域重叠的解题方法。

从哪来　本节为高一数学起点，无前置知识点记录。

为什么　集合元素具有互异性，但元素间的关系（属于、不属于、交集、并集）具有逻辑排他性。Venn图通过几何区域的分割，将“且”（交集）、“或”（并集）、“非”（补集）转化为可视化的空间区域。这种“数形结合”降低了逻辑推理的认知负荷，使复杂的多重条件约束变得直观可数。

讲法

适合：视觉型学习者，空间想象力较强，喜欢直观演示的学生。 核心策略：区域填充法。 1. 画两个相交圆，分别代表集合A和B。 2. 强调“中间重叠区”是A∩B，“外围月牙区”是A-B和B-A。 3. 解题时，先确定已知条件落在哪个区域，再根据容斥原理 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 进行代数计算。 4. 口诀：“整体减重叠，两边求差集”。

讲法

适合：逻辑型学习者，擅长文字推理，对图形不敏感的学生。 核心策略：逻辑翻译法。 1. 将题目中的文字条件逐句翻译为集合语言。例如：“既是A又是B”翻译为 $x \in A \cap B$；“是A但不是B”翻译为 $x \in A \setminus B$。 2. 指出Venn图只是逻辑关系的“地图”，解题本质是解方程组。 3. 设未知数：设 $|A \cap B| = x$，则 $|A \setminus B| = |A| - x$，$|B \setminus A| = |B| - x$。 4. 根据总人数或并集大小列方程求解 $x$。

讲法

适合：抽象思维较弱，容易混淆概念，需要具体情境辅助的学生。 核心策略：实物类比法。 1. 用“班级选班长”或“食堂选菜”做比喻。 2. 假设全班50人，喜欢篮球的30人，喜欢排球的20人。 3. 问：至少喜欢一项的有多少人？ 4. 引导学生发现：直接相加30+20=50，但有人两项都喜欢，被重复计算了。 5. 引入Venn图：重叠部分就是“被重复计算的人”，必须减去一次。 6. 结论：并集 = A + B - 交集。

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练一道

基础题

已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$。

变式

某班有50名学生，参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有25人，已知每人至少参加一个小组，求同时参加两个小组的人数。

试试手自己判

检测题

设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$，$B = \{2, 3, 4, 5\}$。求 $\complement_U (A \cup B)$。

看答案和判分标准

答案：$\{6, 8\}$
判对标准：
1. 正确写出 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$（得1分）。
2. 正确识别全集 $U$ 中不属于 $A \cup B$ 的元素为 6 和 8（得1分）。
3. 最终答案格式正确，无多余元素（得1分）。

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