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函数的概念、表示与性质

高一　·　本节 20 个知识点
学这一节之前，先确认
集合与常用逻辑用语
前置
不等式及其解法
前置
这些是地基。没通的补完再回来 —— 比硬啃快得多。
本节的知识点点进去看讲解
01
一、函数的定义函数是定义在集合A上的对应法则f，使A中每个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应。
02
二、函数表示法用解析式、列表法或图像法，将自变量与因变量之间的对应关系明确表达出来的数学形式。
03
三、函数定义域函数自变量 $x$ 的取值范围，即让函数表达式有意义且符合实际背景的所有实数集合。
04
四、函数值域函数值域是函数所有可能取到的函数值（即 $y$ 值）构成的集合。
05
一、映射的概念设A、B是非空集合，若A中任意元素在B中都有唯一确定的元素与之对应，则称f为A到B的映射。
06
二、函数的表示方法函数表示法是用解析式、列表或图像三种方式，直观呈现自变量与因变量对应关系的数学工具。
07
三、函数图像函数图像是直角坐标系中，所有满足 $y=f(x)$ 的有序数对 $(x,y)$ 构成的点的集合。
08
一、单调性函数在定义域内，自变量增大时函数值随之增大（或减小）的性质。
09
二、最大值与最小值函数在定义域内所有函数值中，最大的数称为最大值，最小的数称为最小值。
10
三、奇偶性函数 $f(x)$ 满足 $f(-x)=f(x)$（偶）或 $f(-x)=-f(x)$（奇），且定义域关于原点对称。
11
一、单调性与奇偶性的综合利用函数单调性判断奇偶性，或利用奇偶性简化单调性判断的综合应用。
12
二、函数图像的对称性函数图像上任意一点关于某直线或原点对称的点仍在图像上，即满足 $f(a-x)=f(a+x)$ 或 $f(-x)=-f(x)$。
13
三、函数与方程研究函数零点与方程根的关系，利用函数性质求解方程或判断根的存在性与个数。
14
例1：求定义域求使函数表达式在实数范围内有意义的自变量 $x$ 的取值集合。
15
例2：函数单调性判断通过比较区间内任意两点函数值的大小关系，确定函数图像上升或下降趋势的性质。
16
例3：函数奇偶性定义域关于原点对称，且满足 $f(-x)=f(x)$（偶）或 $f(-x)=-f(x)$（奇）的函数。
17
例4：求函数最值在给定定义域内，通过代数变形或图像分析，确定函数最大值与最小值的过程。
18
一、函数问题的通法函数问题的通法是指将变量关系转化为方程或不等式，利用代数运算求解定义域、值域及单调性的通用策略。
19
二、函数单调性判断技巧函数单调性判断技巧是指利用导数符号、定义法或图像特征，确定函数在特定区间内增减性的方法。
20
三、函数奇偶性判断技巧判断函数 $f(x)$ 是否满足 $f(-x)=f(x)$（偶）或 $f(-x)=-f(x)$（奇）的方法与步骤。
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