检测题
已知函数 $f(x) = x^2 - 2x + a$。若方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 2)$ 内恰有一个实根，求实数 $a$ 的取值范围。
答案：$a \le 0$ 或 $a > 1$（注：此处需结合具体题意，通常此类题考察端点异号或顶点位置。若仅要求“恰有一个”，需分类讨论。标准解法：对称轴 $x=1$ 在区间内。若 $f(1) \le 0$ 即 $1-2+a \le 0 \Rightarrow a \le 1$，此时若 $f(0)>0$ 且 $f(2)>0$ 则有两个根，若 $f(0)=0$ 或 $f(2)=0$ 则有一个根在端点（开区间不计）。
*修正更严谨的常见考法*：若题目问“在 $(0,2)$ 内有且仅有一个零点”，通常考察 $f(0)f(2)<0$ 或顶点在轴上。
$f(0)=a, f(2)=a$。由于对称性，若 $f(0)f(2)<0$ 不可能（因为相等）。
正确逻辑：
1. 若 $\Delta < 0$，无根。
2. 若 $\Delta = 0$，根为 $x=1$，在 $(0,2)$ 内，此时 $a=1$。
3. 若 $\Delta > 0$，两根关于 $x=1$ 对称。若要在 $(0,2)$ 内恰有一个，必须是一个在区间内，一个在区间外。
由于对称轴是1，若一根在 $(0,1)$，另一根必在 $(1,2)$，则两个都在区间内。
若一根在 $(-\infty, 0]$，另一根在 $[2, +\infty)$，则区间内无根。
因此，对于对称轴在区间中心的二次函数，不可能在开区间内“恰有一个”根，除非根就在对称轴上（重根）。
*重新设计一道更典型的检测题以避免歧义*：
判对标准：
1. 学生能画出 $y=2^x$ 和 $y=x+1$ 的图像（或描述其性质）。
2. 指出 $x=0$ 是一个根（$1=1$）。
3. 指出 $x=1$ 是一个根（$2=2$）。
4. 能说明在 $x<0$ 时 $2^x < 1 < x+1$（错误，$x=-1, 0.5 < 0$），实际上 $x<0$ 时 $2^x$ 递减趋向0，$x+1$ 递减趋向负无穷，需比较斜率或具体值。
更简单的判对标准：
1. 正确列出 $f(x) = 2^x - x - 1$。
2. 验证 $f(0)=0, f(1)=0$。
3. 利用导数或图像凸性说明只有这两个交点（$2^x$ 是下凸函数，直线与凸函数最多两个交点）。
最终判对标准：学生能找出 $x=0$ 和 $x=1$ 两个根，并能通过图像性质或导数符号变化论证不存在第三个根。