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二、函数的表示方法

函数的概念、表示与性质 · 高一
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 函数表示法是用解析式、列表或图像三种方式,直观呈现自变量与因变量对应关系的数学工具。

从哪来 基于“二、方程的基本概念”中变量关系的理解,结合“四、区间与集合”对定义域的界定,以及“三、不等式的解法”对取值范围的约束,构建函数的完整表达体系。

为什么 函数本质是变量间的依赖关系。解析式揭示规律,便于计算和推导;列表呈现具体数据,适合离散或实验数据;图像提供直观趋势,便于观察增减性与极值。三者互为补充,解析式是“骨架”,图像是“血肉”,列表是“数据点”,共同消除抽象概念的理解障碍。

代数推导法
从 $y=2x+1$ 出发,代入不同 $x$ 值计算 $y$,强调“输入-输出”的机械对应。
适合:逻辑性强、擅长符号运算、对抽象图形不敏感的学生。
图像直观法
在坐标系中描点连线,观察直线斜率与截距,强调“形状”与“趋势”。
适合:视觉型学习者、空间想象力好、喜欢从整体把握规律的学生。
生活情境法
用出租车计费(起步价+里程费)类比分段函数,用气温变化记录表类比列表法。
适合:抽象思维较弱、需要具体情境支撑、对纯数学符号感到枯燥的学生。
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练一道
基础题
已知函数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$,求 $f(2)$ 的值,并指出其定义域。
变式
已知函数 $g(x)$ 的图像经过点 $(1, 3)$ 和 $(3, 7)$,且 $g(x)$ 是一次函数,求 $g(x)$ 的解析式。
试试手自己判
检测题
已知函数 $h(x)$ 满足 $h(x+1) = x^2$,求 $h(2)$ 的值。
看答案和判分标准
答案:1
判对标准:
1. 学生能识别出需将 $x+1$ 整体替换为 2,从而解出 $x=1$。
2. 将 $x=1$ 代入右边 $x^2$ 得到 1。
3. 若直接代入 $x=2$ 得 4,或无法建立 $x$ 与 $x+1$ 的关系,均判错。
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