变式
逻辑**：设 $A, B, C$ 不共线。平面 $\alpha$ 过 $A, B$，平面 $\beta$ 过 $A, C$。若 $B \notin \beta$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交。交线必过 $A$。若交线为 $AC$，则 $C \in \alpha$。若交线为 $AB$，则 $B \in \beta$（矛盾）。故交线只能是 $AC$（前提是 $C \in \alpha$）。
-
更稳妥的变式：已知直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $P$，直线 $b$ 在平面 $\alpha$ 内且经过点 $P$。判断直线 $a$ 与直线 $b$ 的位置关系。
-
解答：直线 $a$ 与直线 $b$ 相交于点 $P$。
-
理由：根据公理3，若两直线相交，则它们确定一个平面。这里 $a$ 与 $\alpha$ 交于 $P$，$b \subset \alpha$ 且 $P \in b$。显然 $P$ 是 $a$ 和 $b$ 的公共点。若 $a$ 与 $b$ 平行，则 $a \parallel b$，又 $b \subset \alpha$，则 $a \parallel \alpha$ 或 $a \subset \alpha$，这与 $a$ 与 $\alpha$ 相交矛盾。故 $a$ 与 $b$ 相交。