检测题
在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2, AD=1, AA_1=1$。求异面直线 $A_1B$ 与 $AD$ 所成的角。
答案：$45^\circ$
判对标准：
1. 学生能指出 $AD // BC$，从而将问题转化为求 $A_1B$ 与 $BC$ 的夹角（或 $A_1B$ 与 $A_1D_1$ 的夹角，若平移 $AD$ 至 $A_1D_1$）。
*注：$AD // BC$ 是最直接的。*
2. 在 $\triangle A_1BC$ 中（或 $\triangle A_1BD$ 等其他构造，需看具体平移路径）：
若平移 $AD$ 到 $BC$：
连接 $A_1C$。
$A_1B = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$
$BC = 1$
$A_1C = \sqrt{2^2+1^2+1^2} = \sqrt{6}$
由余弦定理：$\cos \angle A_1BC = \frac{A_1B^2 + BC^2 - A_1C^2}{2 \cdot A_1B \cdot BC} = \frac{5+1-6}{2\sqrt{5} \cdot 1} = 0$。
这说明 $\angle A_1BC = 90^\circ$？
等等，重新检查坐标。
$A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,1,0), A_1(0,0,1)$。
向量 $\vec{A_1B} = (2, 0, -1)$。
向量 $\vec{AD} = (0, 1, 0)$。
$\cos \theta = \frac{|\vec{A_1B} \cdot \vec{AD}|}{|\vec{A_1B}| |\vec{AD}|} = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{5} \cdot 1} = 0$。
所以角是 $90^\circ$。
我的天，刚才的几何直觉错了，向量法更靠谱。让我们换一个非垂直的题作为检测题，避免争议。
修正检测题：
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $AC$ 所成的角。