定义 利用导数判断函数单调性，进而求出函数在给定区间上的最大值与最小值的方法。
从哪来 本节为高一第1讲起点，图谱未记录前置知识点。基于高中数学必修内容，直接引入导数概念及其几何意义，作为研究函数性质（单调性、极值）的新工具。
为什么 函数最值本质是寻找函数图像的最高点和最低点。直接观察图像或代数比较在复杂函数中困难。导数 $f'(x)$ 的符号直接反映函数 $f(x)$ 的增减趋势：$f'(x)>0$ 时函数递增，$f'(x)<0$ 时函数递减。通过解不等式 $f'(x)=0$ 找到“转折点”（驻点），再结合区间端点值比较，即可逻辑严密地锁定最值。这是将“局部变化率”转化为“全局最值”的核心逻辑。
适合：直观型、视觉记忆型学生**
**讲法：登山与下坡模型**
把函数图像比作一座连绵的山脉。导数 $f'(x)$ 就是脚下的坡度。
1. 上坡（$f'>0$）：你正在往高处走，还没到顶。
2. 下坡（$f'<0$）：你正在往低处走，已经过了顶。
3. 平地（$f'=0$）：可能是山顶（极大值），也可能是谷底（极小值），或者是平缓路段。
**求最值步骤
- 先找出所有“平地”位置（解 $f'(x)=0$）。
- 把这些点连同“起点”和“终点”（区间端点）都标记在地图上。
- 最后比较这几个标记点的高度（函数值），最高的就是最大值，最低的就是最小值。
*强调：最值不一定在平地，也可能在起点或终点。*
适合：逻辑型、程序化思维学生**
**讲法：算法流程图**
将求最值过程标准化为四个步骤的算法：
1. **求导
计算 $f'(x)$。
2.
找点：解方程 $f'(x)=0$，得到驻点 $x_1, x_2, \dots$；同时确定定义域区间 $[a, b]$ 的端点 $a, b$。
3.
列表：制作表格，列出所有候选点 $\{a, b, x_1, x_2, \dots\}$。
4.
比大小：计算每个候选点的函数值 $f(a), f(b), f(x_1), \dots$，取最大者为最大值，最小者为最小值。
*强调：这是一个封闭的、可重复执行的程序，只要步骤没错，结果必对。*
讲法
适合：抽象思维强、喜欢探究原理的学生
讲法：单调性分割法
核心思想是“分段单调”。
1. 导数符号不变，函数单调性不变。
2. 导数符号改变，函数单调性改变。
3. 在闭区间 $[a, b]$ 上，函数图像由若干段单调曲线拼接而成。
4. 每一段单调曲线的最值必然出现在该段的端点。
5. 因此，整个区间的最值必然出现在所有单调段的分界点（即导数为0的点）或区间的整体端点。
*强调：理解“最值必在端点或驻点”的拓扑学本质，而非死记硬背。*