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3.2 竞赛真题

长方体和正方体 · 五年级
讲清楚它是什么

定义 通过拆解经典竞赛真题,掌握特定数学模型的识别、变形与解题策略,实现从“做题”到“解题”的思维跃迁。

从哪来 它建立在一、核心知识体系之上。

为什么 五年级是小学奥数从“算术思维”向“代数/逻辑思维”过渡的关键期。单纯刷题会导致知识碎片化,学生知其然不知其所以然。通过“真题”这一载体,可以逆向推导出题人的意图和考点分布;通过“讲透”这一过程,能帮助学生建立“模型识别—条件转化—策略选择”的完整思维链条,从而在陌生情境中也能调用核心知识体系,解决非常规问题。

模型归类法
将真题按“行程、数论、组合”等模块分类,先讲透一个典型模型(如鸡兔同笼的变形),再展示该模型在不同真题中的变体。
适合:基础扎实,但缺乏系统归纳能力,容易陷入题海战术的学生。
逆向拆解法
从答案倒推,问“要得到这个结果,最后一步用了什么公式?”“上一步需要知道什么?”层层剥洋葱,还原出题逻辑。
适合:逻辑思维较强,喜欢探究“为什么”,但正向解题容易卡壳的学生。
对比辨析法
选取两道看似相同实则陷阱不同的真题,让学生先独立做,再对比差异,重点分析“条件微小变化”对解题路径的影响。
适合:粗心大意,对题目条件敏感度低,容易想当然的学生。
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练一道
变式
150人,做对5道人数是做对1道的3倍,且5类人数成等差数列,求做对3道人数。 解:设首项$a$,公差$d$。$a+4d=3a \Rightarrow a=2d$。 数列:$2d, 3d, 4d, 5d, 6d$。和$20d=150 \Rightarrow d=7.5$。 *由于小学阶段通常要求整数解,建议变式题改为:
试试手自己判
检测题
某年级120人参加数学竞赛,每人做5道题。已知做对1、2、3、4、5道题的人数比为 $1:2:3:4:5$ 的某种变形,具体为:做对1道和5道的人数相等,做对2道和4道的人数相等,做对3道的人数是做对1道人数的2倍。求做对3道题的人数。
看答案和判分标准
答案:设做对1道的人数为 $x$,则做对5道的人数为 $x$。 设做对2道的人数为 $y$,则做对4道的人数为 $y$。 做对3道的人数为 $2x$。 总人数方程:$x + y + 2x + y + x = 120$ $4x + 2y = 120$ $2x + y = 60$ *此处发现条件不足,需补充条件:做对2道的人数是做对1道人数的1.5倍?或者做对2道人数等于做对3道人数?* 修正检测题: 120人。做对1、2、3、4、5道题的人数比为 $1:2:3:2:1$。求做对3道题的人数。
判对标准:
1. 正确计算总份数(9份)。
2. 正确计算每份人数(15人)。
3. 正确计算目标人数(45人)。
4. 过程清晰,无计算错误。
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