检测题
在两个相同的恒温恒容密闭容器中，分别充入：
甲：2 mol $A(g)$ 和 1 mol $B(g)$
乙：1 mol $A(g)$、0.5 mol $B(g)$ 和 1 mol $C(g)$
发生反应 $2A(g) + B(g) \rightleftharpoons 2C(g)$。
若甲容器达到平衡时，$A$ 的转化率为 $\alpha$，则乙容器中 $A$ 的转化率为：
A. $\alpha$
B. $2\alpha$
C. $1-\alpha$
D. 无法确定
答案：C
判对标准：
1. 判断等效性：
* 反应 $\Delta n_g = 2+1-2 = 1 \neq 0$。
* 条件：恒温恒容。
* 极限转化乙：1 mol $C$ $\rightarrow$ 1 mol $A$ + 0.5 mol $B$。
* 乙的总投料（转化后）：1 mol $A$ + 0.5 mol $B$。
* 甲的投料：2 mol $A$ + 1 mol $B$。
* 乙的投料是甲的一半。
2. 判断平衡移动：
* 由于恒容且 $\Delta n_g \neq 0$，乙相当于甲的“稀释”版本（浓度减半）。
* 根据勒夏特列原理，减小压强（或降低浓度），平衡向气体分子数增大的方向移动。
* 正反应方向分子数减小（3 $\rightarrow$ 2），逆反应方向分子数增大（2 $\rightarrow$ 3）。
* 因此，乙相对于甲，平衡逆向移动。
3. 推导转化率：
* 甲中 $A$ 的转化率为 $\alpha$，即消耗了 $2\alpha$ mol $A$。
* 乙中起始 $A$ 为 1 mol。如果乙与甲等效（即平衡不移动），乙中 $A$ 的转化率也应为 $\alpha$，消耗 $1 \cdot \alpha$ mol $A$。
* 但因为乙平衡逆向移动，$A$ 的转化率会降低，即乙中 $A$ 的转化率 $< \alpha$。
* 等等，这里需要更严谨的推导。
* 让我们重新审视“等效平衡”的定义。题目问的是“乙容器中 A 的转化率”。
* 如果甲和乙是等效平衡，则百分含量相同。
* 甲：起始 2 mol A, 1 mol B。平衡时 A 剩余 $2(1-\alpha)$ mol。
* 乙：起始 1 mol A, 0.5 mol B, 1 mol C。
* 极限转化乙：1 mol C $\rightarrow$ 1 mol A + 0.5 mol B。总“虚拟”起始：1 mol A + 0.5 mol B。
* 注意：乙的实际起始有 1 mol C。
* 对于 $\Delta n_g \neq 0$ 的恒容体系，投料量不同，即使比例相同，也不是等效平衡（百分含量不同）。
* 甲的“虚拟”起始：2 mol A + 1 mol B。
* 乙的“虚拟”起始：1 mol A + 0.5 mol B。
* 乙的虚拟起始是甲的一半。
* 在恒容下，乙相当于甲的浓度减半。
* 减压（浓度减半）平衡向气体体积增大的方向移动。
* 正反应：3 mol $\rightarrow$ 2 mol（体积减小）。
* 逆反应：2 mol $\rightarrow$ 3 mol（体积增大）。
* 所以，乙的平衡相对于甲（如果甲也减半的话）会向逆反应方向移动。
* 这意味着，乙中 $A$ 的转化率比“甲减半后的转化率”要低。
* 但是，题目中乙还额外加入了 1 mol C！
* 让我们用等效平衡的严格定义来做。
* 关键点：对于 $\Delta n_g \neq 0$ 的恒容体系，只有投料完全相同（极限转化后）才是等效平衡。
* 甲：2 A + 1 B。
* 乙：1 A + 0.5 B + 1 C $\xrightarrow{极限}$ 1 A + 0.5 B + 1 C (C不能转化，因为我们要比较的是起始状态)。
* 不对，极限转化是将所有物质转化为同一侧。
* 甲转化为反应物侧：2 A + 1 B。
* 乙转化为反应物侧：1 A + 0.5 B + (1 C $\rightarrow$ 1 A + 0.5 B) = 2 A + 1 B。
* 发现：乙的极限转化后，也是 2 A + 1 B！
* 结论：甲和乙是等效平衡！
* 因为：
* 甲起始：2 A, 1 B, 0 C。
* 乙起始：1 A, 0.5 B, 1 C。
* 将乙的 1 C 完全转化为 A 和 B：1 C $\rightarrow$ 1 A + 0.5 B。
* 乙的“等效起始”：1+1=2 A, 0.5+0.5=1 B。
* 甲的起始：2 A, 1 B。
* 两者极限转化后完全相同。
* 因此，在恒温恒容下，甲和乙达到完全相同的平衡状态（各组分浓度、物质的量、百分含量都相同）。
* 计算转化率：
* 甲中 $A$ 的转化率为 $\alpha$。
* 甲中消耗的 $A$ = $2 \times \alpha$ mol。
* 因为甲乙等效，乙中平衡时各组分物质的量与甲相同。
* 乙中平衡时 $A$ 的物质的量 = 甲中平衡时 $A$ 的物质的量 = $2 - 2\alpha$ mol。
* 乙中起始 $A$ 的物质的量 = 1 mol。
* 乙中消耗的 $A$ = 起始 - 平衡 = $1 - (2 - 2\alpha) = 2\alpha - 1$ mol。
* 乙中 $A$ 的转化率 $\beta = \frac{\text{消耗}}{\text{起始}} = \frac{2\alpha - 1}{1} = 2\alpha - 1$。
* 检查选项：
* A. $\alpha$
* B. $2\alpha$
* C. $1-\alpha$
* D. 无法确定
* 我的推导结果是 $2\alpha - 1$。选项中没有！
* 重新检查题目和推导。
* 难道我搞错了等效平衡的条件？
* 对于 $\Delta n_g \neq 0$ 的恒容体系，极限转化后投料相同 $\Rightarrow$ 等效平衡。这是对的。
* 甲：2 A + 1 B。
* 乙：1 A + 0.5 B + 1 C。
* 乙极限转化：1 C $\rightarrow$ 1 A + 0.5 B。总：2 A + 1 B。
* 是的，它们是等效平衡。
* 等效平衡意味着平衡时各组分的物质的量相同。
* 甲：起始 2 A。平衡时 A 为 $n(A)_{eq}$。转化率 $\alpha = \frac{2 - n(A)_{eq}}{2}$。
* 乙：起始 1 A。平衡时 A 为 $n(A)_{eq}$ (因为等效，所以平衡时 A 的量一样)。
* 乙的转化率 $\beta = \frac{1 - n(A)_{eq}}{1}$。
* 由 $\alpha$ 得：$n(A)_{eq} = 2(1-\alpha)$。
* 代入 $\beta$：$\beta = 1 - 2(1-\alpha) = 1 - 2 + 2\alpha = 2\alpha - 1$。
* 为什么选项里没有 $2\alpha - 1$？
* 难道题目是 $\Delta n_g = 0$？
* 反应：$2A + B \rightleftharpoons 2C$。$\Delta n = 2 - 3 = -1 \neq 0$。
* 难道我看错题了？
* 甲：2 A, 1 B。
* 乙：1 A, 0.5 B, 1 C。
* 如果反应是 $A + B \rightleftharpoons 2C$ ($\Delta n = 0$)？
* 甲：2 A, 1 B (比例 2:1)。
* 乙：1 A, 0.5 B, 1 C。极限转化：1 C $\rightarrow$ 0.5 A + 0.5 B。总：1.5 A, 1 B。比例 1.5:1 = 3:2。
* 比例不同，不等效。
* 如果反应是 $2A + B \rightleftharpoons 3C$ ($\Delta n = 0$)？
* 甲：2 A, 1 B。
* 乙：1 A, 0.5 B, 1 C。极限转化：1 C $\rightarrow$ 2/3 A + 1/3 B。总：1.67 A, 0.83 B。比例 2:1。
* 比例相同。恒容下 $\Delta n=0$，比例相同即等效。
* 甲转化率 $\alpha$。消耗 A = $2\alpha$。平衡 A = $2-2\alpha$。
* 乙转化率 $\beta$。消耗 A = $1 \cdot \beta$。平衡 A = $1-\beta$。
* 等效 $\Rightarrow$ 百分含量相同 $\Rightarrow$ 浓度比相同。
* 对于 $\Delta n=0$，恒容下，等效平衡意味着各组分浓度成比例？不，是百分含量相同。
* 如果 $\Delta n=0$，恒容下，投料比例相同，则平衡时各组分浓度也成比例，百分含量相同。
* 甲：$c(A)_{eq} / c(total)_{eq} = x$。
* 乙：$c(A)_{eq}' / c(total)_{eq}' = x$。
* 由于乙的投料是甲的一半（虚拟），且 $\Delta n=0$，体积不变，所以乙的浓度是甲的一半。
* $n(A)_{eq}' = 0.5 n(A)_{eq}$。
* $1 - \beta = 0.5 (2 - 2\alpha) = 1 - \alpha$。
* $\beta = \alpha$。
* 如果是这样，答案是 A。
* 但是题目给的是 $2A + B \rightleftharpoons 2C$。
* 让我们再仔细看看选项 C：$1-\alpha$。
* 如果 $\beta = 1-\alpha$，则 $1 - n(A)_{eq} = 1 - \alpha \Rightarrow n(A)_{eq} = \alpha$。
* 甲中 $n(A)_{eq} = 2(1-\alpha)$。
* 若 $2(1-\alpha) = \alpha \Rightarrow 2 - 2\alpha = \alpha \Rightarrow 3\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = 2/3$。
* 这说明只有当 $\alpha=2/3$ 时，C 才成立。这不是通解。
重新思考：是不是我对“等效平衡”的理解在恒容 $\Delta n \neq 0$ 时有偏差？
* 定义：恒温恒容，$\Delta n \neq 0$，极限转化后投料相同 $\Rightarrow$ 等效平衡。
* 等效平衡 $\Rightarrow$ 平衡时各组分的物质的量相同。
* 甲：起始 2 A。平衡 $n(A) = 2 - 2\alpha$。
* 乙：起始 1 A。平衡 $n(A) = 2 - 2\alpha$ (因为等效，所以平衡时 A 的量必须和甲一样)。
* 乙的转化率 $\beta = \frac{1 - (2 - 2\alpha)}{1} = 2\alpha - 1$。
* 这道题的选项设计可能有误，或者我漏看了什么条件？
* 或者，题目中的反应其实是 $A(g) + B(g) \rightleftharpoons 2C(g)$？
* 如果是 $A+B \rightleftharpoons 2C$ ($\Delta n=0$)。
* 甲：2 A, 1 B。
* 乙：1 A, 0.5 B, 1 C。
* 乙极限转化：1 C $\rightarrow$ 0.5 A + 0.5 B。总：1.5 A, 1 B。
* 甲比例 2:1。乙比例 1.5:1 = 3:2。
* 比例不同，不等效。
* 或者，题目中的乙是：1 mol A, 1 mol B, 1 mol C？
* 或者，题目问的是C 的体积分数？
让我们换一个角度：有没有可能题目是 $2A + B \rightleftharpoons 2C$，但乙的投料是 1 mol A, 0.5 mol B, 0.5 mol C？
* 乙极限：0.5 C $\rightarrow$ 0.5 A + 0.25 B。总：1.5 A, 0.75 B。
* 甲：2 A, 1 B。
* 比例相同 (2:1)。
* 恒容 $\Delta n \neq 0$，比例相同但量不同 $\Rightarrow$ 不等效。
* 乙相当于甲的一半。
* 减压，平衡逆向移动。
* 甲转化率 $\alpha$。
* 乙转化率 $\beta < \alpha$。
* 这也没法直接得出 $1-\alpha$。
让我们尝试反推选项 C：$1-\alpha$。
* 如果 $\beta = 1-\alpha$。
* 乙中消耗 A = $1 \cdot (1-\alpha) = 1-\alpha$。
* 乙中平衡 A = $1 - (1-\alpha) = \alpha$。
* 甲中平衡 A = $2(1-\alpha) = 2 - 2\alpha$。
* 如果甲乙等效，则 $2 - 2\alpha = \alpha \Rightarrow \alpha = 2/