压轴题类型

1. 求点坐标：令 $y=0$，得 $-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1, x_2=3$。故 $A(-1,0), B(3,0)$。令 $x=0$，得 $y=3$，故 $C(0,3)$。 2. 设点坐标：设 $P(t, -t^2+2t+3)$，其中 $0 < t < 3$。 3. 面积公式：使用铅垂高法或割补法。这里用割补法更直观。 $S_{\triangle PBC} = S_{\text{梯形}OCPD} + S_{\triangle PDB} - S_{\triangle OCB}$ （此法较繁琐，改用水平宽/铅垂高或行列式法）。 更简便方法：过 $P$ 作 $x$ 轴垂线交 $BC$ 于 $Q$。 直线 $BC$ 解析式：$y = -x + 3$。 $Q(t, -t+3)$。 铅垂高 $h = y_P - y_Q = (-t^2+2t+3) - (-t+3) = -t^2+3t$。 水平宽 $d = x_B - x_C = 3 - 0 = 3$。 $S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-t^2+3t) = -\frac{3}{2}t^2 + \frac{9}{2}t$。 4. 求最值：对称轴 $t = -\frac{9/2}{2 \cdot (-3/2)} = \frac{9/2}{3} = 1.5$。 当 $t=1.5$ 时，$S_{\max} = -\frac{3}{2}(2.25) + \frac{9}{2}(1.5) = -3.375 + 6.75 = 3.375$。 即最大面积为 $\frac{27}{8}$。

答案：$P(4, 5)$ 或 $P(-2, 5)$ 或 $P(4, -5)$ 或 $P(-2, -5)$？ *修正计算*： $A(-1,0), B(3,0)$，底边 $AB = 4$。 $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |y_P| = 10 \Rightarrow 2|y_P| = 10 \Rightarrow |y_P| = 5$。 即 $y_P = 5$ 或 $y_P = -5$。 1. $x^2 - 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, x=-2$。 点为 $(4, 5), (-2, 5)$。 2. $x^2 - 2x - 3 = -5 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0$。 $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$，无实数解。 故只有两个点。 最终答案：$(4, 5)$ 或 $(-2, 5)$。
判对标准：
1. 正确求出 $A, B$ 坐标并计算底边长（2分）。
2. 正确利用面积公式求出 $|y_P|=5$（2分）。
3. 正确解方程求出 $x$ 值，并舍去无解的情况（2分）。
4. 最终写出两个坐标点（2分）。
*若学生写出四个点，说明未检验判别式，扣2分。