定义 若 $x^2=a$（$a\ge0$），则 $x$ 叫 $a$ 的平方根，记作 $\pm\sqrt{a}$。
从哪来 基于“L1基础层：有理数的两种分类”理解数的范围，结合“L2进阶层：有理数与无理数的区分”预判结果性质，并依托“L1基础层：绝对值的定义与表示”理解非负性约束。
为什么 平方根是乘方的逆运算。因为任何实数的平方都是非负数，所以只有非负数才有平方根；又因为正数的平方等于其相反数的平方，所以正数有两个互为相反数的平方根。这解释了为何定义中强调 $a\ge0$ 且结果为 $\pm$。
逆向思维法
从乘法入手。问：“什么数乘以自己等于9？”学生答“3和-3”。再问：“什么数乘以自己等于0？”答“0”。再问：“什么数乘以自己等于-4？”学生发现无解。由此归纳出平方根的定义及存在条件。
适合：逻辑推理能力强，喜欢从运算关系推导概念的学生。
几何直观法
画一个面积为16的正方形，问边长是多少？答4。再问面积为0的正方形边长？答0。再问面积为-4的正方形存在吗？不存在。通过“面积”这一物理量必须非负的特性，直观理解被开方数 $a$ 必须 $\ge0$，且边长（算术平方根）为正。
适合：抽象思维较弱，依赖图形和实物模型理解概念的学生。
对比辨析法
先复习“绝对值”概念，指出 $|x|$ 表示数轴上点到原点的距离，恒非负。引入平方根时，强调 $\sqrt{a}$（算术平方根）也是非负的，而“平方根”包含正负两个值。通过对比“距离”与“方向”，区分 $\sqrt{a}$ 与 $\pm\sqrt{a}$ 的不同。
适合：容易混淆符号、对正负号敏感、需要强化符号意识的学生。