定义 实数由有理数和无理数组成，是数轴上所有点所对应的数的集合。
从哪来 该知识点建立在“L2进阶层：有理数与无理数的区分”以及“L1基础层：有理数的两种分类”之上，通过整合这两类数形成完整的实数体系。
为什么 因为数轴上的点不仅包含可以表示为分数（有理数）的点，还包含无限不循环小数（无理数）的点。为了描述几何长度（如正方形对角线）和连续变化的量，必须将有理数和无理数统一纳入“实数”范畴，才能填补数轴上的“空隙”，实现数与形的一一对应。
讲法
适合逻辑严密、喜欢分类归纳的学生
采用“集合论”视角。先复习有理数（整数+分数），再引入无理数（无限不循环小数）。强调实数 = 有理数 ∪ 无理数。利用韦恩图展示两个子集互斥且并集为全集的关系。重点辨析：有理数看“能否化成分数”，无理数看“是否无限不循环”。
讲法
适合形象思维强、依赖几何直觉的学生
采用“数轴填充”视角。先画一条数轴，标出整数点（有理数），再标出1/2, 1/3等分数点（有理数）。接着提问：以原点为圆心，边长为1的正方形对角线长度是多少？（$\sqrt{2}$）。在数轴上找到这个点，发现它不是有理数。说明数轴上还有无数个点没被有理数覆盖，这些点就是无理数。所有点合起来就是实数。
讲法
适合对概念模糊、易混淆的学生
采用“排除法+特征法”。
第一步：判断一个数是不是实数？只要它是数，就是实数（排除虚数，初一不涉及）。
第二步：判断是有理数还是无理数？
- 问：能写成 $p/q$（$q \neq 0$）吗？能 $\rightarrow$ 有理数。
- 问：小数部分是否无限且不循环？是 $\rightarrow$ 无理数。
口诀：“有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数。”