‹ 回去

例题1:代入消元法

二元一次方程组的解法及应用 · 初一
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求出未知数的方法。

从哪来 建立在“转换一:从一维到二维”之上,即理解从单一变量关系扩展到两个变量相互制约关系的思维转变。

为什么 二元一次方程组包含两个未知数,直接求解困难。代入消元的核心逻辑是“降维”:利用其中一个方程将某个未知数表示为另一个未知数的代数式,代入另一个方程,从而将“二维”问题转化为已掌握的“一维”(一元一次方程)问题。这体现了化未知为已知、化繁为简的数学思想。

讲法
适合逻辑严密、喜欢推导过程的学生 从“等量代换”的生活实例入手(如:1个苹果=2个橘子,1个苹果+3个橘子=5元,求橘子价格)。强调“既然A=B,那么在任何地方A都可以换成B”。引导学生观察方程结构,选择系数为1或-1的未知数进行变形,强调变形的准确性是代入的前提。
讲法
适合直观思维、对抽象符号敏感的学生 使用“拼图”或“天平”模型。将方程看作平衡的天平,代入过程就是“把天平一端的砝码替换成等重的其他砝码组合”。重点演示如何从 $x+y=5$ 得到 $x=5-y$,并可视化地将 $5-y$ 这个“整体”放入另一个方程中,消除 $x$,只留下 $y$ 的方程。
适合机械记忆、需要步骤指引的学生** 提供标准化的“四步口诀”: 1. **选
选一个系数简单(最好是1或-1)的方程。 2. 变:解出其中一个未知数(用含另一个未知数的式子表示)。 3. 代:将变形后的式子代入另一个方程。 4. 解:解一元一次方程,求出第一个未知数,再回代求第二个。 强调每一步的操作规范,避免跳步。
看不明白?看一段视频 ▾待生成
练一道
基础题
解方程组: $$ \begin{cases} x = 2y \quad \text{①} \\ x + y = 6 \quad \text{②} \end{cases} $$
变式
解方程组: $$ \begin{cases} 2x - y = 5 \quad \text{①} \\ x + 3y = 1 \quad \text{②} \end{cases} $$
试试手自己判
检测题
已知方程组 $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$,若用代入消元法求解,下列变形正确的是? A. 由 $x+y=10$ 得 $y=10-x$,代入 $x-y=4$ 得 $x-(10-x)=4$ B. 由 $x+y=10$ 得 $y=10-x$,代入 $x+y=10$ 得 $x+(10-x)=10$ C. 由 $x-y=4$ 得 $x=4-y$,代入 $x+y=10$ 得 $4-y+y=10$ D. 由 $x-y=4$ 得 $x=4+y$,代入 $x+y=10$ 得 $4+y+y=10$
看答案和判分标准
答案:A 和 D 都是正确的代入过程(题目设计为单选时,通常考察最简路径或典型错误排除,此处A和D均逻辑正确,若必须选一个最符合“消元”目的的,A和D均可。但在实际教学中,通常考察是否代入“另一个”方程。B错在代入原方程,C错在变形符号错误($x=4+y$才对,$x=4-y$错)。修正题目以符合单选逻辑: 修正题目:下列变形中,错误的是? A. 由 $x+y=10$ 得 $y=10-x$,代入 $x-y=4$ B. 由 $x+y=10$ 得 $y=10-x$,代入 $x+y=10$ C. 由 $x-y=4$ 得 $x=4+y$,代入 $x+y=10$ D. 由 $x-y=4$ 得 $y=x-4$,代入 $x+y=10$
判对标准:
学生能指出B选项将变形后的式子代回了原方程,导致无法消元,从而选出B。若学生选A、C、D,则说明未掌握“代入另一个方程”的核心规则。
容易错在哪儿 ▾点开看
这一步没懂?写一句问老师 ›
内容由卡片自动生成 · 有不对的地方告诉老师
这张卡有问题?告诉老师 ›