定义 已知递推关系 $a_n = a_{n-1} \cdot f(n)$，通过连乘消去中间项，直接求出 $a_n$ 的表达式。
从哪来 它建立在 4.2 求通项的方法 与 3.2 $S_n$与$a_n$的关系 之上。特别是当题目给出 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的乘积关系，或需要通过 $S_n$ 转化出递推式时，累乘法是核心求解工具。
为什么 累乘法的本质是消元。
在等式 $a_n = a_{n-1} \cdot f(n)$ 中，如果我们把 $n$ 替换为 $n-1, n-2, \dots, 2$，会得到一列等式：
$a_{n-1} = a_{n-2} \cdot f(n-1)$
$a_{n-2} = a_{n-3} \cdot f(n-2)$
...
$a_2 = a_1 \cdot f(2)$
将这 $n-1$ 个等式左右两边分别相乘，左边出现 $a_n \cdot a_{n-1} \cdots a_2$，右边出现 $a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdots a_1 \cdot f(n)f(n-1)\cdots f(2)$。
由于 $a_2, \dots, a_{n-1}$ 在左右两边同时出现且不为零，可以约分抵消，最终只剩下 $a_n = a_1 \cdot \prod_{k=2}^n f(k)$。
这种“首尾保留、中间抵消”的结构，与累加法中 $(a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + \dots$ 的逻辑完全同构，只是运算从加减变成了乘除。
讲法
适合：逻辑直观型、喜欢类比的学生
核心比喻：多米诺骨牌或链条传递。
告诉学生，累乘法就像一条链条，$a_1$ 是起点，$f(2), f(3), \dots, f(n)$ 是每一节链条的放大倍数。
$a_n$ 就是 $a_1$ 经过 $n-1$ 次连续放大后的结果。
公式记忆口诀：“首项乘以后面的所有倍数”。
强调：只要 $a_1$ 已知，且每一步的倍数 $f(k)$ 能写成关于 $k$ 的函数，就能直接算出 $a_n$。
*操作演示*：
$a_2 = a_1 \cdot f(2)$
$a_3 = a_2 \cdot f(3) = a_1 \cdot f(2) \cdot f(3)$
$a_4 = a_3 \cdot f(4) = a_1 \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4)$
...
$a_n = a_1 \cdot f(2) \cdot f(3) \cdots f(n)$
讲法
适合：代数推导型、严谨派学生
核心逻辑：等式性质与约分。
不依赖直觉，直接进行代数运算。
1. 写出递推式：$\frac{a_k}{a_{k-1}} = f(k)$ （$k=2,3,\dots,n$）
2. 列出所有等式：
$\frac{a_2}{a_1} = f(2)$
$\frac{a_3}{a_2} = f(3)$
...
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = f(n)$
3. 左边相乘：$\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$。分子分母交叉约分，只剩 $\frac{a_n}{a_1}$。
4. 右边相乘：$f(2) \cdot f(3) \cdots f(n)$。
5. 结论：$\frac{a_n}{a_1} = \prod_{k=2}^n f(k) \Rightarrow a_n = a_1 \prod_{k=2}^n f(k)$。
*重点强调*：这种方法要求 $a_k \neq 0$，这是除法存在的隐含条件。
讲法
适合：计算能力强、熟悉数列求和技巧的学生
核心技巧：取对数转化为累加。
如果 $a_n > 0$，对递推式 $a_n = a_{n-1} \cdot f(n)$ 两边取自然对数：
$\ln a_n = \ln a_{n-1} + \ln f(n)$
令 $b_n = \ln a_n$，则 $b_n - b_{n-1} = \ln f(n)$。
这就变成了一个标准的
累加法问题！
1. 用累加法求出 $b_n = b_1 + \sum_{k=2}^n \ln f(k) = \ln a_1 + \ln(\prod_{k=2}^n f(k))$。
2. 去对数：$a_n = e^{b_n} = a_1 \cdot \prod_{k=2}^n f(k)$。
*优势*：当 $f(n)$ 是复杂的多项式或指数函数时，取对数后求和往往比直接连乘更容易处理（例如转化为裂项相消或等比求和）。