定义 利用 $a_n$ 与 $S_n$ 关系构造新数列，使其成为等比数列，从而求出 $a_n$ 的方法。
从哪来 基于 3.2 $S_n$与$a_n$的关系 建立递推式，结合 2.1 等比数列的定义 和 2.2 等比数列的通项公式 进行求解，最终通过 4.2 求通项的方法 落实结果。
为什么 当递推关系形如 $a_{n+1} = p a_n + q$（$p \neq 1, q \neq 0$）时，直接求通项困难。通过待定系数法构造 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$，消去常数项 $q$，将原数列转化为公比为 $p$ 的等比数列 $\{a_n + \lambda\}$，从而借用等比数列通项公式求解。
讲法
适合：逻辑严密、擅长代数变形的学生
强调“待定系数法”的代数本质。
1. 设 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$。
2. 展开得 $a_{n+1} = p a_n + p\lambda - \lambda$。
3. 与原式 $a_{n+1} = p a_n + q$ 对比，令 $p\lambda - \lambda = q$，解得 $\lambda = \frac{q}{p-1}$。
4. 结论：数列 $\{a_n + \frac{q}{p-1}\}$ 是首项为 $a_1 + \frac{q}{p-1}$，公比为 $p$ 的等比数列。
*核心：通过代数恒等变形，强行凑出等比结构。*
讲法
适合：直观思维强、喜欢找规律的学生
强调“不动点”的几何意义。
1. 观察递推式 $a_{n+1} = p a_n + q$，想象这是一个线性变换。
2. 寻找“不动点” $x$，即满足 $x = px + q$ 的值，解得 $x = \frac{q}{p-1}$。
3. 这个 $x$ 就是数列趋向的中心（或偏移量）。
4. 构造新数列 $b_n = a_n - x$，则 $b_{n+1} = p b_n$。
5. 结论：$\{a_n - \frac{q}{p-1}\}$ 是等比数列。
*核心：把复杂的递推看作围绕一个固定值的缩放。*
适合：基础薄弱、容易混淆符号的学生**
强调“口诀”和“步骤化”。
1. **看形式
确认是 $a_{n+1} = p a_n + q$ 且 $p \neq 1$。
2.
算常数：记住公式 $\lambda = \frac{q}{p-1}$（分子是常数项，分母是系数减1）。
3.
写新式：写出 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$。
4.
套公式：$a_n + \lambda = (a_1 + \lambda) \cdot p^{n-1}$。
5.
解出 $a_n$：移项即可。
*核心：标准化操作流程，减少思考负担，先模仿后理解。*