例4：线性规划

讲清楚它是什么

定义　在满足一组线性不等式约束条件下，求线性目标函数最大值或最小值的最优化问题。

从哪来　本节为起点，无前置知识点。

为什么　线性规划的核心逻辑基于“线性”与“凸性”。 1. 线性约束：每个不等式 $ax+by \le c$ 在平面直角坐标系中代表一条直线及其一侧的半平面。多个半平面的交集形成一个凸多边形（可行域）。 2. 线性目标：目标函数 $z=ax+by$ 可变形为 $y = -\frac{a}{b}x + \frac{z}{b}$。这是一组斜率固定（$k=-\frac{a}{b}$）的平行直线。 3. 几何本质：求 $z$ 的最值，等价于在这组平行直线中，找到一条与可行域有交点且截距 $\frac{z}{b}$ 最大（或最小）的直线。由于可行域是凸多边形，当直线平移至边界时，必然经过某个顶点。因此，最优解一定出现在可行域的顶点上。这就是为什么我们只需要检查顶点，而不需要检查内部无数个点。

适合类型：几何直觉强、喜欢可视化的学生** **核心思路：滑动直线法** 1. **画区域

将每个约束条件看作一条直线，先画出直线，再判断哪一侧是解集（通过原点测试法），最后取交集画出可行域（阴影部分）。 2. 看斜率：将目标函数 $z=ax+by$ 改写为斜截式 $y = -\frac{a}{b}x + \frac{z}{b}$。明确直线的斜率 $k$ 是固定的。 3. 动直线：想象一条斜率为 $k$ 的直线从可行域的一侧无限远处平移过来。 - 若求最大值，看直线最后离开可行域的那个点（通常是右上角或最远端）。 - 若求最小值，看直线最先接触可行域的那个点。 4. 算坐标：联立该顶点所在的两个边界方程，解出 $x, y$，代入目标函数求 $z$。 *口诀：画准线，定区域；斜率定，直线移；顶点处，取最值。*

适合类型：逻辑严密、偏好代数推导的学生** **核心思路：顶点枚举法** 1. **理解定理

线性规划的最优解（如果存在）必然在可行域的顶点处取得。 2. 找顶点： - 列出所有约束不等式对应的边界直线方程。 - 两两联立这些直线方程，解出交点坐标。 - 检验这些交点是否满足所有约束条件。满足的即为可行域的顶点。 3. 代入比较：将每个顶点的 $(x, y)$ 坐标代入目标函数 $z=ax+by$，计算 $z$ 的值。 4. 得出结论：比较所有 $z$ 值，最大者为最大值，最小者为最小值。 *优势：不需要判断“哪条线最后离开”，完全依赖计算，避免几何判断失误。*

适合类型：抽象思维强、喜欢探究本质的学生** **核心思路：截距意义与边界分析** 1. **截距本质

目标函数 $z=ax+by$ 中，$z$ 的变化直接对应直线在 $y$ 轴截距的变化（假设 $b>0$）。$z$ 越大，截距越大，直线越靠上。 2. 边界决定论： - 如果目标函数的斜率 $k$ 介于可行域两条相邻边界的斜率之间，最优解就是这两条边的交点。 - 如果目标函数的斜率与某条边界平行，则这条边界上的所有点都是最优解（无穷多解）。 3. 无解/无界判断： - 若可行域为空集，无解。 - 若可行域无界，且目标函数方向指向开口方向，则无最大值（或最小值）。 *重点：强调斜率 $k$ 与边界斜率的比较，这是判断最优解位置的关键代数依据。*

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练一道

基础题

已知变量 $x, y$ 满足约束条件： $$ \begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \ge 0 \\ y \ge 1 \end{cases} $$ 求目标函数 $z = 2x + y$ 的最大值。

变式

已知 $x, y$ 满足约束条件： $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 4 \end{cases} $$ 若目标函数 $z = ax + y$ 在点 $(4, 0)$ 处取得最大值，求实数 $a$ 的取值范围。

看解答过程

1. 画可行域： - $x + y = 4$：过 $(4,0)$ 和 $(0,4)$，取下方。 - $x - y = 0 \Rightarrow y = x$：过原点，取右下方（$x \ge y$）。 - $y = 1$：水平线，取上方。 - 交点计算： - $L_1: x+y=4$ 与 $L_3: y=1$ 交于 $A(3, 1)$。 - $L_2: y=x$ 与 $L_3: y=1$ 交于 $B(1, 1)$。 - $L_1: x+y=4$ 与 $L_2: y=x$ 交于 $C(2, 2)$。 - 可行域为 $\triangle ABC$。 2. 求最值： - 目标函数 $z = 2x + y$，斜率 $k = -2$。 - 边界斜率：$AB$ 斜率 $0$，$BC$ 斜率 $1$，$AC$ 斜率 $-1$。 - 直线 $2x+y=z$ 斜率 $-2$，比 $AC$ 更陡。 - 平移直线，最后离开可行域的点是 $A(3,1)$。 - 验证顶点值： - $A(3,1): z = 2(3)+1 = 7$ - $B(1,1): z = 2(1)+1 = 3$ - $C(2,2): z = 2(2)+2 = 6$ - 最大值为 7。

试试手自己判

检测题

已知 $x, y$ 满足约束条件： $$ \begin{cases} x + y \le 2 \\ x - y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases} $$ 求目标函数 $z = 3x + y$ 的最大值。

看答案和判分标准

答案：6
判对标准：
1. 可行域正确：能画出以 $(0,0), (2,0), (1,1)$ 为顶点的三角形区域（或正确列出顶点）。
2. 顶点计算正确：能解出三个顶点坐标：$(0,0), (2,0), (1,1)$。
- $x+y=2$ 与 $y=0$ 交于 $(2,0)$。
- $x-y=2$ 与 $y=0$ 交于 $(2,0)$。
- $x+y=2$ 与 $x-y=2$ 交于 $(1,1)$。
- 原点 $(0,0)$ 也满足所有条件。
*注：此处可行域顶点为 $(0,0), (2,0), (1,1)$。*
3. 代入比较正确：
- $z(0,0) = 0$
- $z(2,0) = 3(2) + 0 = 6$
- $z(1,1) = 3(1) + 1 = 4$
4. 结论正确：最大值为 6。
*若学生只写坐标 $(2,0)$ 而未写 $z=6$，判半对；若顶点找错，判错。

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