定义 若 $a, b > 0$，则 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立。
从哪来 本节为高一数学起点，无前置知识点记录。
为什么 从几何角度，半圆直径为 $a+b$，半径为 $\frac{a+b}{2}$，弦长为 $2\sqrt{ab}$（由射影定理或勾股定理推导），半径必大于等于弦长的一半，即 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$。从代数角度，$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 展开即得 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$。
讲法
适合视觉型/几何直觉强的学生
画一个半圆，直径 $AB=a+b$，在直径上取点 $C$ 使 $AC=a, CB=b$，过 $C$ 作垂线交半圆于 $D$。由射影定理 $CD^2 = AC \cdot CB = ab$，即 $CD=\sqrt{ab}$。而圆心 $O$ 到 $C$ 的距离 $OC = |\frac{a-b}{2}|$，半径 $OD = \frac{a+b}{2}$。在直角 $\triangle OCD$ 中，斜边 $OD$ 必大于直角边 $CD$（除非 $C$ 与 $O$ 重合，即 $a=b$）。直观看到“算术平均”是半径，“几何平均”是半弦长，半径永远不小于半弦长。
讲法
适合代数推导型/逻辑严密的学生
从完全平方公式出发：对任意实数 $x, y$，有 $(x-y)^2 \ge 0$。令 $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$（因 $a,b>0$，根号有意义），则 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$。展开得 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$，移项得 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$，两边除以 2 即得 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$。等号成立条件为 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即 $a=b$。强调“一正二定三相等”中的“一正”是前提，否则 $\sqrt{a}$ 无意义。
讲法
适合应用导向/竞赛思维的学生
引入“和定积最大，积定和最小”的极值思想。固定 $a+b=S$（常数），则 $ab \le (\frac{S}{2})^2$，当 $a=b=\frac{S}{2}$ 时取最大值。反之，固定 $ab=P$（常数），则 $a+b \ge 2\sqrt{P}$，当 $a=b=\sqrt{P}$ 时取最小值。通过具体数值实验（如 $a+b=10$，试 $a=1,b=9$ 积为9；$a=5,b=5$ 积为25）让学生感受“越接近相等，积越大”，再引出公式作为一般化结论。